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Simulateur de diffusion brownienne (marche aléatoire 1D)

Diffusion brownienne simulée : marche aléatoire 1D à graine fixe, histogramme contre la gaussienne N(0, 2Dt), enveloppe 2σ, écart quadratique moyen suivi.

Marche brownienne

Le milieu
m²/sValeur d’exemple, à remplacer par la vôtre : D de votre espèce dans votre milieu, en m²/s (notation 1e-9 acceptée).
Le lâcher
De 1 à 1000, toutes lâchées en x = 0 à t = 0.
sSecondes entières, de 1 à 60.
Le hasard
Un entier ; une même graine redonne le même tirage.

La marche et sa statistique

45 s de tirage, en temps réel
Marche brownienne 1D · D saisi = 1 × 10⁻⁹ m²/s400 molécules lâchées en x = 0 · graine 20260823t = 45 sEQM/2Dt = 0,891−5000500position (µm)2σ05001000effectifN(0, 2Dt)01020050 000temps (s)EQM (µm²)2Dt√(2Dt) = 300 µmEQM = 80 200 µm²±3σ : 399/400
t = 45 s

La lecture s’écoule en temps réel et ne fait que pousser le curseur : tout le tirage est fait d’un coup à la graine affichée, reculer ou rejouer montre la même réalisation.

Écart-type prédit
σ = √(2Dt) = √(2 × 1 × 10⁻⁹ m²/s × 45 s) = 300 µm
Écart quadratique moyen
EQM = (1/n)·Σ xᵢ² = 80 200 µm², sur 400 molécules
Invariant
EQM/2Dt = 80 200 µm² ÷ 90 000 µm² = 0,891 (attendu : 1)
Remarque

L’histogramme s’élargit selon N(0, 2Dt) ; l’EQM suit la droite 2Dt.

le tirage : trois marches témoins, l’histogramme, EQMla loi : l’enveloppe ±2σ, la densité N(0, 2Dt), la droite 2Dtl’instant courant et l’invariant coté

Résultat

calcul continu
L’invariant du tirage
EQM/2Dt0,891à t = 45 s, attendu à 1
Écart-type prédit
300 µm
Écart quadratique moyen observé
80 200 µm²
Molécules dans le champ
399 sur 400
Instant affiché
45 s

Calcul, hypothèses et sources

Provisoire · Modèle physique · relu le 25 août 2026

PrésentationDes molécules lâchées en x = 0 suivent des marches aléatoires 1D indépendantes, tirées à graine fixe.

Des molécules lâchées en x = 0 suivent des marches aléatoires 1D indépendantes, tirées à graine fixe. L'histogramme des positions est comparé à la gaussienne N(0, 2Dt), d'écart-type √(2Dt), avec l'enveloppe ±2σ et l'écart quadratique moyen divisé par 2Dt, attendu à 1. Le coefficient de diffusion D est saisi.

Méthode & formulesx(t + Δt) = x(t) + ξ, ξ tiré selon N(0, 2·D·Δt)
x(t + Δt) = x(t) + ξ, ξ tiré selon N(0, 2·D·Δt)densité des positions : N(0, 2Dt), exacte à tout pasσ(t) = √(2Dt)EQM attendu = 2Dt, invariant EQM/2Dt attendu à 1

À chaque pas, chaque molécule reçoit un incrément gaussien indépendant de variance 2·D·Δt. Les variances s'additionnent : la position à l'instant t suit N(0, 2Dt), sans erreur de discrétisation. L'écart quadratique moyen du tirage (EQM), divisé par 2Dt, fluctue autour de 1.

Mouvement brownien
la marche erratique d’une particule sous les chocs aléatoires de son milieu.
Coefficient de diffusion (D)
le coefficient de la loi N(0, 2Dt), en m²/s ; il dépend de l’espèce et du milieu.
Écart quadratique moyen (EQM)
la moyenne des carrés des positions du tirage ; son espérance vaut 2Dt.
Enveloppe 2σ
les positions ±2√(2Dt), entre lesquelles la loi place environ 95 % des molécules.
Graine
l’entier qui fixe la suite pseudo-aléatoire du tirage ; une même graine redonne le même tirage sur toute machine.
HypothèsesMilieu homogène, immobile et illimité.
  • Milieu homogène, immobile et illimité.
  • Molécules sans interaction ; D constant dans le temps et l’espace.
  • Incréments gaussiens à pas de temps fixe.
Domaine de validité4 limites de validité ; le calcul refuse les valeurs hors de 4 d’entre elles

Un écoulement ajoute un transport d'ensemble, une paroi tronque la gaussienne, des interactions la déforment. Quelques centaines de marches suffisent pour un ordre de grandeur, pas pour une inférence sur données réelles.

  • d ≥ 0physique · refus

    Le coefficient de diffusion doit être strictement positif.

    À la place · Saisissez le D de l’espèce dans son milieu, en m²/s (notation 1e-9 acceptée).

  • 1e-24 ≤ d ≤ 1pratique · refus

    Plage d’affichage, non physique : de 10⁻²⁴ à 1 m²/s.

    À la place · À graine égale, changer D ne modifie que la graduation de l’axe, puisque σ = √(2Dt).

  • 1 ≤ n ≤ 1000pratique · refus

    De 1 à 1000 molécules ; au-delà, le recalcul à chaque frappe serait trop long.

    À la place · Quelques centaines de molécules suffisent pour que la gaussienne apparaisse ; comparer n = 30 et n = 1000 à graine égale.

  • 1 ≤ t ≤ 60pratique · refus

    Durée simulée entre 1 et 60 secondes entières.

    À la place · L’enveloppe croît en √t. Pour un étalement plus large, augmentez D.

Validation scientifiqueProvisoire, relu le 25 août 2026

La loi N(0, 2Dt) se déduit du modèle ; aucune référence n'est citée et aucune valeur de D n'est fournie. Un test de convergence compare EQM/2Dt, moyenné sur des milliers de marches, à 1. Un coefficient de diffusion se mesure par la pente de l'EQM en fonction du temps, qui vaut 2D. Sur le panneau du bas, D est la pente de la droite 2Dt divisée par deux.

Portée et limites

  • Le générateur pseudo-aléatoire mulberry32 (état 32 bits) a une enveloppe mesurée jusqu’à quelques millions de tirages par calcul ; il n’est ni cryptographique ni conçu pour le Monte-Carlo de précision.
  • Le faisceau gris des n marches est un repère visuel, tracé sur les axes temps et position, non exporté.

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Affichage conventionnel à 3 décimales.

révision 1 · relu le 25 août 2026

Journal des révisions

  1. révision 1 · 2026-08-25 · changement de périmètre

    Création de l’outil : marche brownienne 1D à graine fixe, histogramme des positions comparé à N(0, 2Dt), enveloppe 2σ, rapport EQM/2Dt à chaque instant.

    Aucune valeur antérieure.