Générateur de gradient de concentration

Deux concentrations d'alimentation, les débits des pompes, le nombre d'étages (2 à 5) et la géométrie des serpentins : le réseau « arbre de Noël » est résolu exactement, les débits par branche par le solveur de réseau hydraulique (série/parallèle), les concentrations par le bilan de masse aux nœuds. En sortent l'escalier de concentrations des sorties, la part de chaque alimentation dans chaque courant et les pertes de charge par entrée. L'hypothèse de mélange parfait est jugée par τ = L / L_mix. Deux modes inverses ajustent le partage des pompes au sens des moindres carrés, par inversion analytique : la conception lit les deux alimentations aux extrémités du profil visé, l'ajustement part d'alimentations déjà saisies.

La première formule est le bilan de masse à un nœud de recombinaison, une identité de conservation : le courant sortant porte la moyenne des concentrations entrantes pondérée par les débits. La deuxième découle de la résolution du réseau : les collecteurs étant de résistance négligeable, les n serpentins identiques d'un étage voient la même différence de pression et se partagent le débit total à parts égales. R est la résistance hydraulique d'un serpentin rectangulaire. Pe compare le temps de diffusion transverse (w²/D) au temps d'advection (w/v) ; L_mix est la distance parcourue pendant que la diffusion traverse la largeur w, à comparer à la longueur d'un serpentin.

Arbre de Noël (Christmas tree)

réseau microfluidique en étages où chaque rangée de serpentins divise puis recombine les courants voisins ; après S étages, les S + 1 sorties portent un escalier de concentrations.

Étage

une rangée de serpentins identiques entre deux collecteurs ; l'étage s compte s + 1 canaux, et chacun porte Q_total/(s + 1). La longueur déroulée d'un serpentin est la longueur disponible pour que la diffusion mélange les courants recombinés.

Mélange parfait au nœud

les courants qui se rejoignent dans un collecteur ressortent à la concentration moyenne pondérée par les débits. Elle n'est défendable que si chaque serpentin est plus long que la longueur de mélange.

Longueur de mélange (L_mix)

distance de canal nécessaire pour que la diffusion transverse homogénéise la largeur w : L_mix = v·w²/D, en ordre de grandeur.

Conception, ajustement

les deux questions inverses. L’ajustement part de flacons déjà préparés : les deux alimentations sont saisies, seul le partage des pompes est ajusté, et l'écart résiduel au profil visé est rendu sortie par sortie. La conception part d’une expérience à monter : les deux alimentations se lisent aux extrémités du profil visé, et le partage s'ajuste par la même méthode. Un même profil peut être hors d'atteinte pour l'une et exact pour l'autre. Ainsi « 80 · 60 · 40 · 20 » rate de 20 avec des flacons à 100 et 0, et tombe juste avec des flacons à 80 et 20.

Théorème des extrémités

la première sortie est alimentée par A pur et la dernière par B pur, φ = 1 et φ = 0 exactement, quel que soit le nombre d'étages, si le partage ρ = Q_A/(Q_A + Q_B) tient entre 1/3 et 2/3. Hors de cet intervalle l'arbre sature : sous ρ < 1/3 le premier départ du collecteur tire plus que la pompe A ne fournit et φ(sortie 1) = 3ρ ; au-dessus de 2/3, le miroir, φ(dernière) = 3ρ − 2. La lecture des alimentations n’est alors plus exacte, et le résultat le signale. Les bornes 1/3 et 2/3 sont celles où les segments du premier collecteur changent de sens, le même fait qui rend la part venue de A affine par morceaux en ρ.

Plafond de débit total

le profil de sortie ne détermine pas le débit total : multiplier les deux pompes par le même facteur ne change aucune concentration (le bilan est homogène de degré zéro). L'homogénéisation, elle, le borne. Comme τ_s = n_s·L·h·D/(Q_total·w) et que la rangée la plus exposée est celle qui partage le débit en le moins de parts (n = 3, la première rangée de recombinaison, quel que soit le nombre d'étages), exiger τ ≥ 1 partout revient à Q_total ≤ 3·L·h·D/w. Au-dessous de ce plafond, tout débit convient au regard du mélange ; en choisir un demande une autre contrainte, temps de séjour visé ou volume d’échantillon disponible.

Part venue de A

fraction du débit d'une sortie issue de l'alimentation A, calculée par le même bilan de masse avec un traceur (1 côté A, 0 côté B). La concentration de chaque sortie en est la combinaison exacte : c = φ·c_A + (1 − φ)·c_B.

• Tous les serpentins ont la même géométrie, donc la même résistance hydraulique ; un dessin aux canaux inégaux sort du modèle.
• Les collecteurs horizontaux ont une résistance négligeable devant celle des serpentins : chaque collecteur est une équipotentielle de pression, et les canaux d’un étage se partagent le débit à parts égales.
• Le mélange est parfait à chaque nœud : les concentrations de sortie sont des moyennes pondérées par les débits. Cette hypothèse est évaluée par τ = L / L_mix.
• Le fluide est newtonien et incompressible, en régime laminaire établi ; les deux alimentations portent le même fluide, seule la concentration diffère.
• La longueur de mélange L_mix = v·w²/D est un ordre de grandeur issu d’une dérivation dimensionnelle : le préfacteur exact dépend du critère d’homogénéité retenu.

La résolution est exacte sous ses hypothèses, et seulement là : serpentins tous identiques, collecteurs de résistance négligeable, mélange parfait à chaque nœud, régime laminaire établi d'un fluide newtonien incompressible. Un dessin aux serpentins inégaux, aux collecteurs résistifs ou aux canaux non rectangulaires sort de ce modèle. Le mélange parfait est évalué dès que le coefficient de diffusion D est saisi (il dépend de l'espèce diffusante). Le rapport τ = L / L_mix dit combien de fois la longueur disponible couvre la longueur d'homogénéisation, et le seuil est τ ≥ 1. Sous ce seuil, l'escalier reste calculé comme limite de mélange parfait, pas comme état du dispositif, et le résultat le signale. Allonger les serpentins ou réduire les débits augmente τ. Il se lit sur l'étage limitant, le premier étage de recombinaison, dont les canaux portent le plus de débit. τ est la seule variable dont dépend le mélange : deux dispositifs de même τ mélangent identiquement, quelles que soient leurs longueurs, vitesses, largeurs et coefficients de diffusion. Aucun régime d'écoulement n'est déduit du nombre de Reynolds (aucune borne vérifiée pour un microcanal). La formule de résistance exige h < w strictement : pour une section carrée, la perte de charge n'est pas calculée. Les concentrations se saisissent dans une unité libre, la même pour les deux alimentations ; le mélange étant linéaire, les sorties s'écrivent dans cette unité.

1. Elvesys (Elveflow) · Microfluidic reviews, Flow Resistance in Microfluidics: Principles, Calculations & Applications, consulté 2026-08-02.

   Emplacement : Section « Introduction to microfluidics and flow resistance », équation « ΔP = QR_H », ΔP la différence de pression [Pa en unités SI], Q le débit volumique [m³/s], R_H la résistance hydraulique [Pa·s/m³]. · consulté le 2026-08-02

2. Molecular Medicine Reports (Spandidos Publications) · Bao X., Li Z., Liu H. et al., Stimulation of chondrocytes and chondroinduced mesenchymal stem cells by osteoinduced mesenchymal stem cells under a fluid flow stimulus on an integrated microfluidic device, vol. 17, n° 2 (2018), p. 2277-2285, version PMC5783459.

   Emplacement : Section « Materials and methods », sous-section « Numerical modeling of the shear stress », « R=[12ηL/(1–0.63(h/w)] × (1/h3w). In this formula, R is the hydraulic resistance of the rectangular microchambers, η the dynamic viscosity of the liquid, L the channel length, h and w (always h < w) the channel height and width, respectively. ». La parenthèse « always h < w » est la convention d'orientation du rapport d'aspect ET le domaine géométrique retenus par ce moteur. Le même paragraphe referme la chaîne sur la loi de Hagen-Poiseuille : « Δp=QR_H ». · consulté le 2026-08-02 · DOI 10.3892/mmr.2017.8153 · Licence CC BY-NC-ND 4.0

3. Elvesys (Elveflow) · Microfluidic reviews, Flow Resistance in Microfluidics: Principles, Calculations & Applications, consulté 2026-08-02.

   Emplacement : Section « The concept of flow resistance through examples », identité série « R_HT = R_H1 + R_H2 + R_H3 + R_H4 + R_H5 » (éléments mis bout à bout), et exemple de circuit combiné « R_HT = 1 / (1/R_H1 + 1/R_H2) + R_H3 » (deux éléments en parallèle, puis un troisième en série avec eux). · consulté le 2026-08-02

4. Wikipedia (Wikimedia Foundation), Reynolds number, révision consultée : oldid 1362194896.

   Emplacement : Section « Flow in a pipe », formule « Re = uD_H/ν = ρuD_H/µ = ρQD_H/(µA) = WD_H/(µA) », avec (unités SI de la source) : D_H « the hydraulic diameter of the pipe (the inside diameter if the pipe is circular) (m) » ; µ (mu) « the dynamic viscosity of the fluid (Pa·s = N·s/m² = kg/(m·s)) » ; ν (nu) « the kinematic viscosity (ν = µ/ρ) (m²/s) », explicitement DISTINCTE de µ. Jamais substituable sans diviser par ρ ; ρ (rho) « the density of the fluid (kg/m³) » ; u « the mean velocity of the fluid (m/s) ». Diamètre hydraulique défini, pour une section quelconque, par « D_H = 4A/P » (A l’aire de la section, P le périmètre mouillé du canal) : c’est cette définition, pas le diamètre d’un tube circulaire, qui rend la formule applicable à un canal microfluidique non circulaire. La source précise elle-même la limite de cette substitution : « the hydraulic diameter can be substituted for the diameter of a circular duct, with reasonable accuracy, if the aspect ratio AR of the duct cross-section remains in the range 1/4 < AR < 4 ». · consulté le 2026-08-02 · Licence CC BY-SA 4.0

5. Bar-Meir, Genick · LibreTexts (Civil Engineering), « Fluid Mechanics », Kinematic Viscosity, consulté 2026-08-02.

   Emplacement : Définition « ν = µ/ρ », dimensions [m²/s] · consulté le 2026-08-02 · Licence GNU Free Documentation License 1.3

6. Sensors (MDPI), Shayor Ahmed Abrar, Kabir Md Emamul, Rifath Md Sartaj Ahamed, Rashid Adib Bin, Oh Kwang W., A Synergistic Overview between Microfluidics and Numerical Research for Vascular Flow and Pathological Investigations, vol. 24, n° 18 (2024), article 5872, version PMC11435959.

   Emplacement : Section 1 « Introduction », « To model the flow of Newtonian fluid via a single microchannel, the Hagen–Poiseuille law may be used. The flow profile throughout the channel is assumed to follow a parabolic shape ». · consulté le 2026-08-02 · DOI 10.3390/s24185872 · Licence CC BY 4.0

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Le résultat suit le nombre de chiffres significatifs de l'entrée la moins précise.

révision 2 · relu le 20 septembre 2026

Journal des révisions

1. révision 2 · 2026-09-20 · changement de périmètre

   Deux questions inverses au lieu d'une. L'ajustement (alimentations saisies, partage ajusté) est inchangé ; la conception, nouvelle, lit les deux alimentations aux extrémités du profil visé. Le plafond d'homogénéisation du débit total, Q_total ≤ 3·L·h·D/w, est rendu quand le coefficient de diffusion est renseigné.

   Aucun résultat antérieur modifié : le mode direct et l'ajustement rendent les mêmes nombres, liens partagés `dir=inverse` compris.

2. révision 1 · 2026-08-25 · mise à jour de source

   Création de l'outil : arbre de Noël résolu par le solveur de réseau hydraulique, bilan de masse aux nœuds, critère de mélange par Péclet, six sources déclarées.

   Aucun résultat antérieur modifié : outil nouveau.