Décroissance radioactive, période, activité et datation
N(t) = N₀ e^(−λt)
Deux sens de lecture d'une même loi : ce qu'il reste d'une source après un temps donné, et le temps écoulé quand on connaît ce qu'il reste, c'est-à-dire la datation. L'outil rend la quantité restante et disparue, les fractions correspondantes, le nombre de périodes écoulées, la constante de désintégration λ et la vie moyenne τ, que l'on confond souvent avec la période alors qu'elle est 44 % plus longue. La période et le temps se saisissent dans des unités indépendantes, et l'année employée est l'année julienne des tables, déclarée plutôt que supposée.
12,565
- Calcul
- N = N₀ e^(−λt) = 100 × e^(−1,00032E-6 × 2073600) = 12,565
- Constante de désintégration
- λ = ln 2 / T½ = 0,693147 / 692928 = 1,00032E-6 s⁻¹
Il reste 12,565 % de la quantité de départ, après 2,99252 période(s).
La vie moyenne τ n’est pas la période : elle vaut T½ / ln 2, soit 1,4427 fois plus longue. C’est la durée de vie moyenne d’un noyau, et le temps au bout duquel il reste 1/e ≈ 36,8 % de l’échantillon, pas la moitié.
La quantité peut être une masse, un nombre de noyaux ou une activité en becquerels : les trois sont proportionnels, décroissent avec la même exponentielle, et le rapport N/N₀ ne dépend pas de celle qu’on a choisie.
La loi exponentielle décrit un très grand nombre de noyaux : elle donne la moyenne d’un phénomène aléatoire, pas la trajectoire d’un échantillon donné. Sur quelques dizaines de noyaux, la fluctuation statistique domine. Elle suppose aussi que le produit de désintégration ne se désintègre pas à son tour vers le noyau de départ, et que rien n’en apporte de nouveau.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesN(t) = N₀ e^(−λt)
N(t) = N₀ e^(−λt)
λ = ln 2 / T½
τ = 1 / λ = T½ / ln 2
t = −ln(N/N₀) / λ
N/N₀ = 2^(−t/T½)
La désintégration d'un noyau est un événement aléatoire dont la probabilité par unité de temps, λ, ne dépend ni de l'âge du noyau ni de son environnement. C'est cette absence de mémoire qui produit l'exponentielle, et c'est elle qui rend la datation possible : la fraction restante ne dépend que du temps écoulé, jamais de la quantité de départ.
- T½
- · période radioactive : le temps au bout duquel il reste la moitié.
- λ
- · constante de désintégration, probabilité de désintégration par unité de temps, en s⁻¹.
- τ
- · vie moyenne, 1/λ. Plus longue que la période d’un facteur 1/ln 2 ≈ 1,4427 : au bout de τ il reste 36,8 %, pas 50 %.
- Activité
- · nombre de désintégrations par seconde, A = λN, en becquerels. Elle décroît avec la même exponentielle que N.
- Année julienne
- · 365,25 jours exactement, soit 31 557 600 s : l’unité des tables de périodes.
Domaine de validitéLa loi exponentielle décrit la moyenne d'un phénomène aléatoire portant sur un très grand nombre de noyaux.
La loi exponentielle décrit la moyenne d'un phénomène aléatoire portant sur un très grand nombre de noyaux. Sur quelques dizaines de noyaux, la fluctuation statistique domine et la courbe ne vaut plus. Le modèle suppose aussi une désintégration simple : ni filiation qui réalimente le noyau de départ, ni apport extérieur. Une datation au carbone 14 suppose en outre que la teneur atmosphérique de départ était celle d'aujourd'hui, hypothèse que les courbes de calibration corrigent et que cet outil n'applique pas. Sur les temps très courts devant la période, la quantité disparue est calculée par expm1 plutôt que par 1 − e^(−λt), dont la soustraction rendrait exactement zéro.
Lecture du résultatLe nombre de périodes écoulées est la lecture la plus parlante : après n périodes il reste 2⁻ⁿ, soit la moitié, le quart, le huitième.
Le nombre de périodes écoulées est la lecture la plus parlante : après n périodes il reste 2⁻ⁿ, soit la moitié, le quart, le huitième. La règle usuelle des dix périodes vient de là, 2⁻¹⁰ valant moins d'un millième. La quantité saisie peut être une masse, un nombre de noyaux ou une activité : les trois décroissent avec la même exponentielle et le rapport N/N₀ ne dépend pas de celle qu'on a choisie.