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Intervalle de confiance

Intervalle de confiance d’une moyenne (Student ou loi normale) et d’une proportion (Wilson, avec Wald en comparaison).

Paramètres

%95 par convention ; 90 pour un intervalle plus étroit, 99 pour plus de sûreté.
Remarque

Intervalle de Wilson ; celui de Wald en comparaison.

Résultat

Intervalle de confiance

[0,17205 ; 0,5159]

Calcul
Wilson : centre = (p̂ + z²/2n)/(1 + z²/n), demi-largeur = z·√(p̂(1−p̂)/n + z²/4n²)/(1 + z²/n)
Marge d’erreur
± 0,17192
Valeur critique
1,96
Proportion observée p̂
0,32
Intervalle de Wald (pour comparaison)
[0,13714 ; 0,50286]
Effectifs observés
8 succès, 17 échecs
0,20,4proportionWilsonWald

Remarques (2)

La vraie proportion est estimée dans [0,17205 ; 0,5159] (intervalle de Wilson).

Sur un grand nombre d’échantillons, 95 % des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie valeur.

Calcul, hypothèses et sources

PrésentationIntervalle de confiance d’une moyenne, l’écart-type de la population étant inconnu (loi de Student) ou connu (loi normale), et d’une proportion.

Intervalle de confiance d’une moyenne, l’écart-type de la population étant inconnu (loi de Student) ou connu (loi normale), et d’une proportion. Pour la proportion, l’intervalle retenu est celui de Wilson. Celui de Wald, affiché en comparaison, peut sortir de [0 ; 1] ou se réduire à un point quand aucun succès n’est observé ; ce cas est signalé.

Méthode & formulesmoyenne, σ inconnu : x̄ ± t(1−α/2, n−1) · s/√n
moyenne, σ inconnu : x̄ ± t(1−α/2, n−1) · s/√nmoyenne, σ connu : x̄ ± z(1−α/2) · σ/√nproportion (Wilson) : (p̂ + z²/2n)/(1 + z²/n) ± z·√(p̂(1−p̂)/n + z²/4n²)/(1 + z²/n)proportion (Wald, pour comparaison) : p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n)

L’intervalle vaut l’estimation plus ou moins une valeur critique multipliée par l’erreur-type ; seule la loi qui fournit la valeur critique change d’un cas à l’autre. Estimer l’écart-type sur l’échantillon ajoute une incertitude que la loi de Student prend en compte : à n = 5, sa valeur critique vaut 2,78 contre 1,96 pour la loi normale, soit un intervalle 42 % plus large. Le centre de l’intervalle de Wilson est déplacé de p̂ vers 1/2 et le maintient dans [0 ; 1].

Niveau de confiance
proportion des intervalles qui contiendraient la vraie valeur si l’échantillonnage était répété un grand nombre de fois.
Marge d’erreur
demi-largeur de l’intervalle, qui décroît comme 1/√n.
Intervalle de Wilson
intervalle pour une proportion (Wilson, 1927) dont la couverture réelle reste proche du niveau annoncé même pour p proche de 0 ou 1, contrairement à celle de Wald.
Domaine de validitéL’intervalle sur une moyenne suppose un échantillonnage aléatoire et, pour de petits effectifs, une population approximativement normale ; cette normalité n’est pas testée.

L’intervalle sur une moyenne suppose un échantillonnage aléatoire et, pour de petits effectifs, une population approximativement normale ; cette normalité n’est pas testée. Sur un grand échantillon, le théorème central limite rend l’hypothèse peu contraignante, mais un biais d’échantillonnage demeure quelle que soit la taille. Aucune correction pour population finie n’est appliquée (elle compte au-delà de ~5 % de la population).

Interprétation du niveau de confianceLa vraie valeur est fixe ; c’est l’intervalle qui varie d’un échantillon à l’autre.

La vraie valeur est fixe ; c’est l’intervalle qui varie d’un échantillon à l’autre. Lire « 95 % de chances que la vraie valeur soit dans l’intervalle » est faux en statistique fréquentiste. Cet énoncé relève de l’intervalle de crédibilité bayésien, qui n’est pas calculé ici.