Calculateur de loi normale
z = (x − µ) / σ
Trois calculs sur la loi normale, pour n'importe quels µ et σ : les probabilités en un point (P(X ≤ x), P(X > x), z-score, densité), la probabilité entre deux bornes, et les valeurs critiques. Le z tel que P(X ≤ x) = p, la queue droite, ou l'intervalle central contenant une probabilité donnée. Les queues sont calculées séparément en précision relative : P(Z > 6) est rendu avec ses chiffres, pas comme zéro.
0,975002
- Calcul
- z = (x − µ)/σ = (1,96 − 0) ÷ 1 = 1,96
0,975002 de la population est sous x, 0,0249979 au-dessus. Les deux queues sont calculées séparément, en précision relative.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesz = (x − µ) / σ
z = (x − µ) / σ
Φ(z) = P(Z ≤ z) = ½·erfc(−z/√2)
P(a ≤ X ≤ b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
valeur critique : z tel que Φ(z) = p ; intervalle central : Φ(z) = (1 + p)/2
Le z-score ramène n'importe quelle loi normale à la loi centrée réduite : c'est le nombre d'écarts-types entre x et la moyenne. Φ est évaluée par la fonction d'erreur avec deux représentations classiques (série de Maclaurin près du centre, fraction continue de Legendre dans les queues, Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §7.1). Qui coïncident à la précision machine dans leur zone de recouvrement. Le quantile est obtenu par méthode de Newton sur Φ, avec sa dérivée exacte (la densité), bornée par bissection.
- z-score
- · l'écart entre x et la moyenne, mesuré en écarts-types. z = 2 signifie « deux écarts-types au-dessus de la moyenne », quelle que soit la loi normale de départ.
- Valeur critique
- · le z (ou le x) qui délimite une probabilité donnée, le 1,96 des intervalles à 95 % est la valeur critique centrale pour p = 0,95.
- Queue
- · la probabilité au-delà d'un point. L'outil la calcule directement (jamais par 1 − Φ), ce qui préserve les chiffres significatifs des probabilités minuscules.
Domaine de validitéL'outil calcule des probabilités sous l'hypothèse que la variable suit une loi normale : il ne vérifie pas que vos données la suivent : c'est le rôle d'un examen de normalité, hors de son périmètre.
L'outil calcule des probabilités sous l'hypothèse que la variable suit une loi normale : il ne vérifie pas que vos données la suivent : c'est le rôle d'un examen de normalité, hors de son périmètre. Le quantile exige une probabilité strictement entre 0 et 1 : 0 et 1 n'ont pas d'antécédent fini. Les probabilités plus petites que ~10⁻³⁰⁰ sortent du plancher des nombres flottants et sont rendues 0.
Piège classique : P(X = x) n’existe pasPour une loi continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle : seules les probabilités d'intervalles ont un sens, et P(X ≤ x) = P(X < x).
Pour une loi continue, la probabilité d'une valeur exacte est nulle : seules les probabilités d'intervalles ont un sens, et P(X ≤ x) = P(X < x). La densité f(x) affichée n'est pas une probabilité : elle peut dépasser 1 quand σ est petit ; c'est une probabilité par UNITÉ de x. Autre piège : 1,96 vaut pour l'intervalle central à 95 % ; le quantile unilatéral à 95 % est 1,645, confondre les deux est l'erreur de table la plus fréquente.