Calculateur de loi normale
Probabilités, z-score et valeurs critiques de la loi normale (P(X ≤ x), P(a ≤ X ≤ b), quantiles) à la précision machine, queues comprises.
Abaque
densité et répartition- Calcul
- z = (x − µ)/σ = (1,96 − 0) ÷ 1 = 1,96
La loi (modèle)La région (calculée)
Résultat
calcul continu- z-scorez
- 1,96
- Au-dessus de x1−Φ
- 0,024 997 9
- Densité en xf
- 0,058 440 9
0,975 002 de la population est sous x, 0,024 997 9 au-dessus.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationProbabilités en un point (P(X ≤ x), P(X > x), z-score, densité), entre deux bornes, et valeurs critiques d’une loi normale de µ et σ quelconques.
Probabilités en un point (P(X ≤ x), P(X > x), z-score, densité), entre deux bornes, et valeurs critiques d’une loi normale de µ et σ quelconques. Les queues sont calculées en précision relative ; P(Z > 6) garde ses chiffres significatifs.
Méthode & formulesz = (x − µ) / σ
Le z-score ramène toute loi normale à la loi centrée réduite. Φ est évaluée par la fonction d’erreur, en série de Maclaurin près du centre et en fraction continue de Legendre dans les queues (Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §7.1) ; les deux coïncident à la précision machine dans leur zone de recouvrement. Le quantile est obtenu par la méthode de Newton sur Φ, dont la dérivée est la densité, encadrée par bissection.
- z-score
- l’écart entre x et la moyenne, en écarts-types.
- Valeur critique
- le z (ou le x) qui délimite une probabilité donnée ; 1,96 pour l’intervalle central à 95 %.
- Queue
- la probabilité au-delà d’un point, calculée directement (pas par 1 − Φ) pour garder ses chiffres significatifs.
Domaine de validitéLa variable est supposée normale ; la normalité des données n’est pas testée.
La variable est supposée normale ; la normalité des données n’est pas testée. Le quantile exige une probabilité strictement entre 0 et 1, bornes sans antécédent fini. Les probabilités inférieures à ~10⁻³⁰⁰ sont affichées 0.
Probabilité d’une valeur exactePour une loi continue, la probabilité d’une valeur exacte est nulle, et P(X ≤ x) = P(X < x).
Pour une loi continue, la probabilité d’une valeur exacte est nulle, et P(X ≤ x) = P(X < x). La densité f(x) est une probabilité par unité de x ; elle dépasse 1 quand σ est petit. Le quantile unilatéral à 95 % vaut 1,645, contre 1,96 pour l’intervalle central.