Lois binomiale et de Poisson
binomiale : P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E = np, V = np(1 − p)
Les deux lois discrètes du cours : la binomiale (k succès sur n essais indépendants de probabilité p) et Poisson (k événements quand λ sont attendus en moyenne). L'outil donne la probabilité exacte, les deux probabilités cumulées. Chacune sommée DE SON CÔTÉ pour que la petite queue garde ses chiffres significatifs, l'espérance et l'écart-type. Le calcul passe par les logarithmes de factorielles (sommation directe, aucune approximation à coefficients) : n = 10 000 ne déborde jamais.
0,246094
- Calcul
- P(X = k) = C(10, 5) × 0,5^5 × (1 − 0,5)^(10−5)
Probabilité 0,246094 d'obtenir exactement 5 succès sur 10 essais (espérance 5). Les deux cumuls sont sommés chacun de leur côté, la petite queue garde ses chiffres.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesbinomiale : P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E = np, V = np(1 − p)
binomiale : P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E = np, V = np(1 − p)
Poisson : P(X = k) = e⁻λ · λᵏ / k!, E = V = λ
cumuls : P(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ P(X = i), P(X ≥ k) = Σᵢ₌ₖ P(X = i)
La binomiale compte les succès d'essais indépendants et de même probabilité, les deux conditions du modèle. Poisson en est la limite quand n grandit et p diminue à produit np = λ constant : c'est la loi des événements rares (appels, pannes, désintégrations). Le calcul interne travaille en logarithmes (ln C(n,k) par sommes de ln i, jamais de factorielle directe) donc C(10000, 5000) × p⁵⁰⁰⁰ ne déborde ni ne s'annule ; chaque cumul est sommé de son propre côté, pour que P(X ≥ 95) sur 100 essais garde ses chiffres au lieu de mourir dans un 1 − 0,9999….
- Essais indépendants
- · le résultat d'un essai n'influence pas les autres, et p est identique à chaque essai : un tirage avec remise. Un tirage sans remise suit la loi hypergéométrique, pas la binomiale.
- Espérance et variance
- · E = np pour la binomiale : sur 100 lancers à p = 0,5, on attend 50 succès. Mais P(X = 50) ne vaut que 8 % : la valeur la plus probable reste peu probable.
- λ, moyenne et variance
- · la signature de Poisson : espérance et variance égales. Des comptages dont la variance dépasse nettement la moyenne (surdispersion) ne suivent pas Poisson.
Domaine de validitén est borné à 10 000 et λ à 10 000, au-delà.
n est borné à 10 000 et λ à 10 000, au-delà. L'approximation normale (outil loi normale) est de toute façon excellente et d'usage standard. La binomiale suppose p constant et les essais indépendants : séries corrélées et tirages sans remise sont hors modèle. Les probabilités plus petites que ~10⁻³⁰⁰ sortent du plancher flottant et sont rendues 0.
Piège classique : « au moins un » ne se calcule pas terme à terme« Quelle probabilité d'au moins un succès ?
« Quelle probabilité d'au moins un succès ? » se calcule par le complémentaire : P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) (un seul terme) et jamais en sommant P(1) + P(2) + … à la main. Exemple qui surprend : à p = 1/100 et n = 100 essais, P(au moins un) = 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63 %, pas 100 %, « une chance sur cent. Cent fois » ne fait pas une certitude. L'outil donne directement les deux cumuls pour couper court à ces sommes manuelles.