Lois binomiale et de Poisson
P(X = k), P(X ≤ k) et P(X ≥ k) pour la loi binomiale et la loi de Poisson, calcul en logarithmes, queues sommées du bon côté.
Les bâtons et l’escalier
11 bâtons, de 0 à 10La lecture fait varier uniquement l’entrée n du formulaire, entier par entier, quinze valeurs par seconde, et chaque image est entièrement recalculée.
- Calcul
- P(X = 5) = C(10, 5) × 0,5⁵ × (1 − 0,5)⁵ = 0,246 094
- Cumuls
- P(X ≤ 5) = P(0) + … + P(5) = 0,623 047 · P(X ≥ 5) = P(5) + … + P(10) = 0,623 047
- Moments
- µ = np = 10 × 0,5 = 5 · σ = √(np(1 − p)) = √2,5 = 1,58114
Remarque
Quand n croît à p fixé, la loi se centre sur µ = np, son écart-type σ = √(np(1 − p)) croît comme √n et l’asymétrie disparaît (théorème de De Moivre-Laplace).
La loi : les bâtons P(X = i) et l’escalier FLe bâton demandé, P(X = k)Les deux queues, cotées
Résultat
calcul continu- Probabilité cumulée basseP(X ≤ k)
- 0,623 047
- Probabilité cumulée hauteP(X ≥ k)
- 0,623 047
5 succès sur 10 essais, pour une espérance de 5.
- Espéranceµ
- 5
- Varianceσ²
- 2,5
- Écart-typeσ
- 1,58114
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationLoi binomiale (k succès sur n essais indépendants de probabilité p) et loi de Poisson (k événements pour λ attendus en moyenne) : probabilité exacte, les deux probabilités cumulées, espérance et écart-type.
Loi binomiale (k succès sur n essais indépendants de probabilité p) et loi de Poisson (k événements pour λ attendus en moyenne) : probabilité exacte, les deux probabilités cumulées, espérance et écart-type.
Méthode & formulesbinomiale : P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, E = np, V = np(1 − p)
Poisson est la limite de la binomiale quand n grandit et p diminue à np = λ constant : c'est la loi des événements rares (appels, pannes, désintégrations). Les calculs se font en logarithmes (ln C(n,k) par sommes de ln i) ; C(10000, 5000) × p⁵⁰⁰⁰ ne déborde ni ne s'annule. Chaque cumul est sommé de son côté : P(X ≥ 95) sur 100 essais garde ses chiffres significatifs.
- Essais indépendants
- le résultat d'un essai n'influence pas les autres et p est le même à chaque essai (tirage avec remise). Un tirage sans remise suit la loi hypergéométrique.
- Espérance et variance
- E = np pour la binomiale. Sur 100 lancers à p = 0,5, E = 50 et P(X = 50) vaut 8 %.
- λ, moyenne et variance
- pour Poisson, espérance et variance sont égales. Des comptages dont la variance dépasse nettement la moyenne (surdispersion) ne suivent pas Poisson.
Domaine de validitén et λ sont bornés à 10 000 ; au-delà, l'approximation normale (outil loi normale) convient.
n et λ sont bornés à 10 000 ; au-delà, l'approximation normale (outil loi normale) convient. Séries corrélées et tirages sans remise sont hors modèle. Les probabilités inférieures à ~10⁻³⁰⁰ sont rendues 0.
L’événement « au moins un »P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0).
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). À p = 1/100 et n = 100 essais, P(X ≥ 1) = 1 − 0,99¹⁰⁰ ≈ 63 %.
Lire l’escalier et les deux queuesL'escalier est la fonction de répartition F : il monte de P(X = i) en chaque valeur i, et sa hauteur en k est P(X ≤ k).
L'escalier est la fonction de répartition F : il monte de P(X = i) en chaque valeur i, et sa hauteur en k est P(X ≤ k). Les deux queues comptent le bâton k : P(X ≤ k) + P(X ≥ k) = 1 + P(X = k), et leurs cotes se chevauchent sur la marche de k. La queue haute est cotée de F(k − 1) à 1. Aucune courbe normale n’est superposée aux bâtons.