Combinaisons, arrangements et factorielle
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
Les trois comptages de la combinatoire, en valeurs exactes quelle que soit leur taille : les combinaisons C(n, k) quand l'ordre ne compte pas (une main de cartes, un comité). Les arrangements P(n, k) quand il compte (un podium, un classement), et la factorielle n!. Le calcul se fait en entiers exacts : C(52, 5) = 2 598 960 tel quel, et 100 ! avec ses 158 chiffres, là où les calculatrices flottantes arrondissent dès 15 chiffres.
2 598 960
- Formule
- C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
5 objets choisis parmi 52, l'ordre indifférent. Chaque groupe n'est compté qu'une fois. Valeur exacte, calculée en entiers, pas en flottants.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesC(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
C(n, k) = n! / (k! × (n − k)!)
P(n, k) = n! / (n − k)!
n! = 1 × 2 × … × n, avec 0! = 1
lien : P(n, k) = C(n, k) × k!
Une seule question sépare les deux premiers comptages : l'ordre compte-t-il ? Un podium (or, argent, bronze) est un arrangement ; un comité de trois personnes est une combinaison. Le même trio y figure une seule fois, alors qu'il fait 3! = 6 podiums différents. C'est exactement le facteur k ! entre les deux formules. Le calcul interne est en entiers exacts (BigInt), par la forme multiplicative de C(n, k) dont chaque étape intermédiaire est un coefficient binomial entier : aucune division approchée, aucun arrondi, jamais.
- Combinaison, « k parmi n »
- · un sous-ensemble de k objets pris dans n, sans ordre. C(n, k) est aussi le coefficient binomial, celui du développement de (a + b)ⁿ et de la loi binomiale.
- Arrangement
- · une suite ordonnée de k objets distincts pris dans n. Sans répétition : le même objet ne peut pas être choisi deux fois.
- 0! = 1
- · une convention nécessaire, pas un caprice : il existe exactement une façon d'ordonner zéro objet (ne rien faire), et elle rend les formules cohérentes. C(n, n) = C(n, 0) = 1.
Domaine de validitéL'outil compte des objets distincts sans répétition : ni les arrangements avec remise (nᵏ), ni les combinaisons avec répétition, ni les permutations d'objets partiellement identiques (anagrammes).
L'outil compte des objets distincts sans répétition : ni les arrangements avec remise (nᵏ), ni les combinaisons avec répétition, ni les permutations d'objets partiellement identiques (anagrammes). Des comptages voisins mais différents. n est borné à 5 000 : au-delà, les résultats se comptent en dizaines de milliers de chiffres et sortent du cadre d'un outil web. L'ordre de grandeur flottant affiché devient « au-delà de 10³⁰⁸ » quand il déborde, la valeur exacte. Elle, reste juste.
Piège classique : confondre podium et comité« Combien de podiums avec 10 coureurs ?
« Combien de podiums avec 10 coureurs ? » : l'ordre compte, P(10, 3) = 720. « Combien de trios qualifiés ? » : l'ordre ne compte pas, C(10, 3) = 120. Six fois moins, car chaque trio fait 3 ! podiums. Se tromper de comptage multiplie ou divise le résultat par k ! entier. Autre repère utile : la symétrie C(n, k) = C(n, n − k), choisir k objets, c'est exactement en écarter n − k.