Suites arithmétiques et géométriques
Terme général, somme des termes et somme infinie d’une suite arithmétique ou géométrique, avec l’indice de départ de l’énoncé (u₀ ou u₁).
Résultat
35
- Calcul
- un = 5 + 10 × 3 = 35
- Somme de u₀ à u₁₀
- 220
- Nombre de termes
- 11
- Sens de variation
- croissante
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationLe premier terme, son indice (u₀ ou u₁), la raison et l'indice cherché donnent le terme général, la somme des termes jusque-là, le sens de variation et, pour une suite géométrique de raison |q| < 1, la somme infinie.
Le premier terme, son indice (u₀ ou u₁), la raison et l'indice cherché donnent le terme général, la somme des termes jusque-là, le sens de variation et, pour une suite géométrique de raison |q| < 1, la somme infinie.
Méthode & formulesarithmétique : u_n = u_p + (n − p)·r, somme = N·(u_p + u_n)/2
Pour la somme arithmétique, le premier et le dernier terme s'apparient (Gauss) : chaque paire vaut u_p + u_n, et il y a N/2 paires. La somme géométrique vient de S − q·S, qui se télescope. Pour |q| < 1, q^N tend vers zéro et la somme infinie vaut u_p/(1 − q), par exemple 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1.
- Raison
- ce qui sépare deux termes consécutifs : une différence constante (arithmétique, u_{n+1} = u_n + r) ou un rapport constant (géométrique, u_{n+1} = u_n·q).
- Indice de départ
- u₀ ou u₁ selon les manuels ; il entre dans la formule par le décalage n − p.
- Somme infinie
- limite des sommes partielles. Elle existe pour une suite géométrique de raison |q| < 1, pas pour une suite arithmétique de raison non nulle.
Domaine de validitéLes suites arithmético-géométriques (u_{n+1} = a·u_n + b) et les récurrences générales ne sont pas traitées.
Les suites arithmético-géométriques (u_{n+1} = a·u_n + b) et les récurrences générales ne sont pas traitées. Les indices sont des entiers positifs ou nuls.
Le décalage d’indiceDe u₀ à u₁₀, il y a onze termes : N = n − p + 1.
De u₀ à u₁₀, il y a onze termes : N = n − p + 1. Pour une suite commençant à u₁, u₁₀ = u₁ + 9r.