Suites arithmétiques et géométriques
arithmétique : u_n = u_p + (n − p)·r, somme = N·(u_p + u_n)/2
Saisissez le premier terme, son indice (u₀ ou u₁. Selon votre énoncé), la raison et l'indice cherché : l'outil calcule le terme général, la somme des termes jusque-là, le sens de variation, et, pour une suite géométrique de raison |q| < 1, la somme infinie exacte, avec le verdict honnête « n'existe pas » quand |q| ≥ 1.
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- Calcul
- u_n = 5 + 10 × 3 = 35
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesarithmétique : u_n = u_p + (n − p)·r, somme = N·(u_p + u_n)/2
arithmétique : u_n = u_p + (n − p)·r, somme = N·(u_p + u_n)/2
géométrique : u_n = u_p·q^(n−p), somme = u_p·(1 − q^N)/(1 − q). Q ≠ 1
somme infinie (|q| < 1) : S∞ = u_p / (1 − q)
N = n − p + 1 (nombre de termes, bornes incluses)
La somme arithmétique est l'astuce de Gauss : apparier le premier et le dernier terme, chaque paire vaut u_p + u_n. Et il y a N/2 paires. La somme géométrique vient de S − q·S, où presque tout se télescope. Quand |q| < 1, q^N tend vers zéro et la somme de tous les termes converge vers u_p/(1 − q) : c'est le paradoxe de la moitié de la moitié : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1, exactement.
- Raison
- · ce qui sépare deux termes consécutifs : une différence constante (arithmétique, u_{n+1} = u_n + r) ou un rapport constant (géométrique, u_{n+1} = u_n·q).
- Indice de départ
- · les manuels commencent à u₀ ou à u₁ selon les pays et les chapitres. La formule dépend de ce choix par le décalage n − p : l'outil le demande au lieu de l'imposer, l'erreur d'indice est l'erreur n°1 de ces exercices.
- Somme infinie
- · la limite des sommes partielles quand on ajoute toujours plus de termes. Elle n'existe que pour une suite géométrique de raison |q| < 1, jamais pour une arithmétique de raison non nulle.
Domaine de validitéL'outil traite les suites arithmétiques et géométriques exactes, pas les suites arithmético-géométriques (u_{n+1} = a·u_n + b), ni les récurrences générales.
L'outil traite les suites arithmétiques et géométriques exactes, pas les suites arithmético-géométriques (u_{n+1} = a·u_n + b), ni les récurrences générales. Pour de grands indices d'une suite géométrique, q^n dépasse la capacité des nombres flottants vers 10³⁰⁸ : le résultat devient Infinity, ce qui est mathématiquement le bon message. Les indices sont des entiers positifs ou nuls, comme dans les énoncés.
Piège classique : le décalage d’indiceDe u₀ à u₁₀ il y a onze termes, pas dix.
De u₀ à u₁₀ il y a onze termes, pas dix. Les bornes comptent toutes les deux (N = n − p + 1). Même piège dans le terme général : u₁₀ d'une suite commençant à u₁ vaut u₁ + 9r, pas u₁ + 10r. C'est l'erreur du « poteau et intervalle » : dix intervalles séparent onze poteaux. L'outil affiche le nombre de termes précisément pour attraper ce décalage d'un coup d'œil.