Matrices 2×2 et 3×3 : déterminant, inverse, système
Déterminant, inverse, transposée, produit AB et BA, et résolution de système linéaire, avec la singularité détectée à seuil relatif.
Résultat
En attente des grandeurs nécessaires au calcul.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationMatrices 2×2 et 3×3 : déterminant et trace, inverse par la comatrice, transposée, produits AB et BA, résolution du système A·x = b.
Matrices 2×2 et 3×3 : déterminant et trace, inverse par la comatrice, transposée, produits AB et BA, résolution du système A·x = b. Une matrice singulière est détectée par un seuil relatif à son échelle ; elle n'a pas d'inverse, et son système a zéro ou une infinité de solutions.
Méthode & formulesdet(2×2) = ad − bc
Si le déterminant est non nul, la matrice est inversible et le système a une solution unique. S'il est nul, la matrice écrase une direction : pas d'inverse, pas de solution unique.
- Déterminant
- le facteur d’aire (2×2) ou de volume (3×3) de la transformation ; son signe dit si elle retourne l’orientation.
- Trace
- la somme des termes diagonaux.
- Singulière
- de déterminant nul : la transformation aplatit l’espace, deux points distincts peuvent se confondre.
- Comatrice
- la matrice des cofacteurs ; sa transposée divisée par le déterminant donne l’inverse.
Domaine de validitéLes formules par comatrice conviennent aux tailles 2 et 3 ; au-delà, leur coût croît vite et le pivot de Gauss ou les décompositions prennent le relais.
Les formules par comatrice conviennent aux tailles 2 et 3 ; au-delà, leur coût croît vite et le pivot de Gauss ou les décompositions prennent le relais. Le seuil de singularité est relatif à l'échelle de la matrice : un déterminant de 10⁻⁶ est nul pour une matrice en millions, non nul pour une matrice en millièmes. Près du seuil, l'arithmétique flottante ne distingue pas un zéro d'un presque-zéro ; un avertissement remplace alors l'inverse.
Lecture du résultatEn général AB ≠ BA : tourner puis étirer ne revient pas à étirer puis tourner.
En général AB ≠ BA : tourner puis étirer ne revient pas à étirer puis tourner. Un système singulier n'a aucune solution si ses équations se contredisent, une infinité si elles se répètent.