Matrices 2×2 et 3×3 : déterminant, inverse, système
det(2×2) = ad − bc
Le calcul matriciel du programme, en 2×2 et 3×3 : déterminant et trace, inverse par la comatrice, transposée, produit dans les deux ordres parce que AB ≠ BA est la leçon du chapitre, et résolution du système A·x = b. Une matrice singulière est détectée par un seuil relatif à son échelle, et l'outil dit alors ce qui est vrai : pas d'inverse, et un système à zéro ou une infinité de solutions, jamais des infinis servis comme résultats.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesdet(2×2) = ad − bc
det(2×2) = ad − bc
det(3×3) : cofacteurs sur la première ligne
A⁻¹ = comatrice(A)ᵀ / det(A)
A·x = b ⇒ x = A⁻¹·b
Le déterminant décide de tout : non nul, la matrice est inversible et le système a une solution unique ; nul, la matrice écrase une direction, l'inverse n'existe pas et le système perd son unicité. C'est le même nombre qui gouverne les trois opérations de l'outil.
- Déterminant
- · le facteur d’aire (2×2) ou de volume (3×3) de la transformation ; son signe dit si elle retourne l’orientation.
- Trace
- · la somme des termes diagonaux.
- Singulière
- · de déterminant nul : la transformation aplatit l’espace, deux points distincts peuvent se confondre.
- Comatrice
- · la matrice des cofacteurs ; sa transposée divisée par le déterminant donne l’inverse.
Domaine de validitéLes formules par comatrice sont exactes et parfaitement adaptées aux tailles 2 et 3 ; au-delà, leur coût explose et les méthodes numériques (pivot de Gauss, décompositions) prennent le relais, avec d'autres précautions.
Les formules par comatrice sont exactes et parfaitement adaptées aux tailles 2 et 3 ; au-delà, leur coût explose et les méthodes numériques (pivot de Gauss, décompositions) prennent le relais, avec d'autres précautions. Le seuil de singularité est relatif à l'échelle de la matrice, un déterminant de 10⁻⁶ étant nul pour une matrice en millions et franc pour une matrice en millièmes ; à la frontière exacte, l'arithmétique flottante ne peut pas distinguer un vrai zéro d'un presque-zéro, et l'outil choisit d'avertir plutôt que de servir un inverse aux coefficients géants.
Lecture du résultatLe produit est calculé dans les deux ordres, AB et BA, parce que leur différence est la leçon la plus importante du chapitre : l'ordre des transformations compte, tourner puis étirer n'est pas étirer puis tourner.
Le produit est calculé dans les deux ordres, AB et BA, parce que leur différence est la leçon la plus importante du chapitre : l'ordre des transformations compte, tourner puis étirer n'est pas étirer puis tourner. Quand les deux coïncident, l'outil le dit comme un cas particulier. Pour un système singulier, la réponse honnête n'est pas un vecteur : c'est l'alternative, aucune solution si les équations se contredisent, une infinité si elles se répètent.