Calcul vectoriel, produit scalaire, produit vectoriel et angle
‖u‖ = √(uₓ² + u_y² + u_z²)
Saisissez deux vecteurs du plan ou de l'espace : l'outil rend leurs normes et vecteurs unitaires, leur somme, leur différence, le produit par un scalaire, le produit scalaire, le produit vectoriel (et le déterminant dans le plan), l'aire du parallélogramme, l'angle en degrés et en radians, la projection de l'un sur l'autre décomposée en part parallèle et part orthogonale, puis conclut sur la colinéarité ou l'orthogonalité. Ce qui n'est pas défini n'est pas inventé : un vecteur nul n'a ni direction ni angle, et l'outil le dit au lieu de rendre zéro.
32
- Calcul
- u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = 32
- Angle entre u et v
- θ = arccos(u · v / (‖u‖‖v‖)) = arccos(32 / (3,74166 × 8,77496)) = 12,9332°
(-3 ; 6 ; -3)
- Calcul
- u × v = (u_yv_z − u_zv_y ; u_zvₓ − uₓv_z ; uₓv_y − u_yvₓ) = (-3 ; 6 ; -3)
- Aire du parallélogramme
- 7,34847
Les deux vecteurs font un angle de 12,9332°, ni nul, ni droit, ni plat : ils ne sont ni colinéaires ni orthogonaux.
Ce que mesure le produit scalaire : la part de u qui va dans la direction de v, multipliée par la longueur de v. Positif, les deux vecteurs pointent du même côté ; négatif, à l’opposé ; nul, ils sont perpendiculaires. C’est ce que calcule le travail d’une force en physique.
Ce que mesure le produit vectoriel : un vecteur perpendiculaire au plan de u et v, dont la longueur est l’aire du parallélogramme qu’ils construisent. Son sens suit la règle de la main droite, et il change de signe si l’on échange u et v.
La projection décompose u en deux parts : celle qui suit v, et celle qui lui est orthogonale. La somme des deux redonne u exactement, ce que le calcul ci-dessus vérifie.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formules‖u‖ = √(uₓ² + u_y² + u_z²)
‖u‖ = √(uₓ² + u_y² + u_z²)
u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z
u × v = (u_yv_z − u_zv_y ; u_zvₓ − uₓv_z ; uₓv_y − u_yvₓ)
θ = arccos(u · v / (‖u‖‖v‖))
proj_v(u) = (u · v / ‖v‖²) v
Les deux produits disent la même chose sous deux angles : le produit scalaire mesure ce que deux vecteurs ont EN COMMUN de direction, le produit vectoriel ce qui les sépare. L'identité de Lagrange les relie, ‖u × v‖² + (u · v)² = ‖u‖²‖v‖², et c'est elle qui garantit que l'angle tiré du cosinus rend aussi le bon sinus.
- ‖u‖
- · norme du vecteur, sa longueur.
- Vecteur unitaire
- · u divisé par sa norme : même direction, longueur 1. Non défini pour le vecteur nul.
- u · v
- · produit scalaire, un nombre. Nul exactement quand les deux vecteurs sont perpendiculaires.
- u × v
- · produit vectoriel, un vecteur perpendiculaire aux deux. Nul exactement quand ils sont colinéaires.
- Déterminant
- · dans le plan, la composante z du produit vectoriel : uₓv_y − u_yvₓ. Son signe donne le sens de rotation.
- Projection
- · part de u portée par la direction de v. Le reste, u moins cette part, est orthogonal à v.
Domaine de validitéLes verdicts de colinéarité et d'orthogonalité portent sur une tolérance relative, appliquée au cosinus et au sinus de l'angle plutôt qu'aux produits eux-mêmes : un seuil absolu déclarerait perpendiculaires deux vecteurs minuscules et jamais deux vecteurs immenses.
Les verdicts de colinéarité et d'orthogonalité portent sur une tolérance relative, appliquée au cosinus et au sinus de l'angle plutôt qu'aux produits eux-mêmes : un seuil absolu déclarerait perpendiculaires deux vecteurs minuscules et jamais deux vecteurs immenses. Un angle franc, même de un centième de degré, n'est pas confondu avec la colinéarité. Le vecteur nul est traité à part : il n'a pas de direction, donc pas de vecteur unitaire, et l'angle qu'il fait avec un autre n'existe pas. Ces sorties sont déclarées non définies, jamais ramenées à zéro. En dimension 2, les composantes z ne sont ni saisies ni utilisées : le plan est traité comme l'espace avec z = 0, une seule algèbre pour les deux cas.
Lecture du résultatLe signe du produit scalaire se lit avant sa valeur : positif, les deux vecteurs pointent du même côté ; négatif, à l'opposé ; nul, ils sont perpendiculaires.
Le signe du produit scalaire se lit avant sa valeur : positif, les deux vecteurs pointent du même côté ; négatif, à l'opposé ; nul, ils sont perpendiculaires. La norme du produit vectoriel est l'aire du parallélogramme construit sur les deux vecteurs, donc le double de l'aire du triangle qu'ils forment. Dans le plan, ce produit sort du plan et se réduit à un nombre, le déterminant, dont le signe indique si l'on tourne de u vers v dans le sens direct.