Calcul vectoriel, produit scalaire, produit vectoriel et angle
Normes, somme, produit scalaire, produit vectoriel, angle, projection et test de colinéarité, dans le plan comme dans l’espace.
Résultat
7
- Calcul
- u · v = uₓvₓ + uyvy + uzvz = 7
- Angle entre u et v
- θ = arccos(u · v / (‖u‖‖v‖)) = arccos(7 / (4,12311 × 3,16228)) = 57,5288°
- Calcul
- u × v = (u_yv_z − u_zv_y ; u_zvₓ − uₓv_z ; uₓv_y − u_yvₓ) = (0 ; 0 ; 11)
- Aire du parallélogramme
- 11
Chaque vecteur
- Norme de u
- 4,12311
- Norme de v
- 3,16228
- Vecteur unitaire de u
- (0,970 143 ; 0,242 536)
- Vecteur unitaire de v
- (0,316 228 ; 0,948 683)
Ce qui relie u et v
- Angle entre u et v
- 57,5288°
- Distance entre les extrémités
- 3,60555
Combinaisons
- Somme u + v
- (5 ; 4)
- Différence u − v
- (3 ; −2)
- Produit 2 · u
- (8 ; 2)
Décomposition de u sur v
- Projection scalaire de u sur v
- 2,21359
- Projeté de u sur v
- (0,7 ; 2,1)
- Composante de u orthogonale à v
- (3,3 ; −1,1)
Remarques (2)
Les deux vecteurs font un angle de 57,5288°, ni nul, ni droit, ni plat : ils ne sont ni colinéaires ni orthogonaux.
Dans le plan, u × v est porté par z ; cette composante est le déterminant, positive dans le sens direct.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationPour deux vecteurs du plan ou de l'espace : normes et vecteurs unitaires, somme, différence, produit par un scalaire, produit scalaire, produit vectoriel (déterminant dans le plan), aire du parallélogramme, angle en degrés et en radians, projection de l'un sur l'autre (parts parallèle et orthogonale), tests de colinéarité et d'orthogonalité.
Pour deux vecteurs du plan ou de l'espace : normes et vecteurs unitaires, somme, différence, produit par un scalaire, produit scalaire, produit vectoriel (déterminant dans le plan), aire du parallélogramme, angle en degrés et en radians, projection de l'un sur l'autre (parts parallèle et orthogonale), tests de colinéarité et d'orthogonalité. Pour un vecteur nul, direction et angle sont marqués non définis.
Méthode & formules‖u‖ = √(uₓ² + u_y² + u_z²)
Le produit scalaire porte le cosinus de l'angle, le produit vectoriel son sinus. L'identité de Lagrange les relie : ‖u × v‖² + (u · v)² = ‖u‖²‖v‖².
- ‖u‖
- norme du vecteur, sa longueur.
- Vecteur unitaire
- u divisé par sa norme : même direction, longueur 1. Non défini pour le vecteur nul.
- u · v
- produit scalaire, un nombre. Positif, les deux vecteurs pointent du même côté ; négatif, à l’opposé ; nul exactement quand ils sont perpendiculaires.
- u × v
- produit vectoriel, un vecteur perpendiculaire aux deux, nul exactement quand ils sont colinéaires. Sa norme est l’aire du parallélogramme construit sur u et v, le double de celle du triangle.
- Déterminant
- dans le plan, la composante z du produit vectoriel : uₓv_y − u_yvₓ. Son signe donne le sens de rotation.
- Projection
- part de u portée par la direction de v. Le reste, u moins cette part, est orthogonal à v.
Domaine de validitéLes tests de colinéarité et d'orthogonalité appliquent une tolérance relative au cosinus et au sinus de l'angle, non aux produits : leur réponse ne dépend pas de la taille des vecteurs.
Les tests de colinéarité et d'orthogonalité appliquent une tolérance relative au cosinus et au sinus de l'angle, non aux produits : leur réponse ne dépend pas de la taille des vecteurs. Un angle d'un centième de degré n'est pas pris pour une colinéarité. En dimension 2, les composantes z valent 0.