Résolution de triangle (lois des sinus et des cosinus)
loi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos A
Donnez trois éléments d'un triangle et obtenez les trois côtés, les trois angles. L'aire, le périmètre et les rayons inscrit et circonscrit. La configuration SSA (deux côtés et un angle non compris) est traitée comme elle doit l'être : selon les valeurs, elle admet zéro, un ou deux triangles distincts, et l'outil les rend tous au lieu d'en choisir un arbitrairement. Les impossibilités sont nommées avec leur raison géométrique : inégalité triangulaire, triangle plat, somme d'angles trop grande, côté trop court.
a = 8 ; b = 10 ; c = 12,423
- Angles
- A = 40° ; B = 53,464° ; C = 86,536°
- Nature
- acutangle
a = 8 ; b = 10 ; c = 2,8978
- Angles
- A = 40° ; B = 126,54° ; C = 13,464°
- Nature
- obtusangle
Deux triangles différents satisfont cet énoncé, c’est le cas ambigu SSA : l’angle B peut valoir sa valeur aiguë ou son supplémentaire. Seule une information de plus (l’angle B, le côté c, ou la nature du triangle) permet de trancher.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesloi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos A
loi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos A
loi des sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
aire (Héron) : S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p = demi-périmètre
rayon inscrit : r = S / p
La loi des cosinus détermine un triangle sans ambiguïté (elle généralise Pythagore) ; la loi des sinus est plus simple mais laisse une ambiguïté quand on part d'un angle non compris, car sin θ = sin(180° − θ). C'est là qu'apparaissent les deux solutions du cas SSA. Une fois les trois côtés connus, l'outil recalcule tous les angles par arccos, jamais par arcsin : arccos couvre 0°–180° sans confondre un angle avec son supplémentaire et reste précis près de 90°. L'aire suit la forme stable de Héron (ordonnancement de Kahan), qui ne s'effondre pas sur les triangles très aplatis.
- Cas ambigu (SSA)
- · deux côtés et un angle non compris entre eux. Avec h = b·sin A : si a < h, aucun triangle ; si a = h, un triangle rectangle ; si h < a < b, deux triangles ; si a ≥ b, un seul.
- Inégalité triangulaire
- · chaque côté doit être strictement inférieur à la somme des deux autres. À l'égalité, les points sont alignés : triangle plat, d'aire nulle. Refusé comme tel, distinctement de l'impossible.
- Rayons R et r
- · R (circonscrit) est le rayon du cercle passant par les trois sommets, r (inscrit) celui du cercle tangent aux trois côtés. Ils apparaissent dans une grande partie des exercices de géométrie du triangle.
Domaine de validitéGéométrie euclidienne plane : ni triangles sphériques (navigation, géodésie).
Géométrie euclidienne plane : ni triangles sphériques (navigation, géodésie). Ni triangles hyperboliques. Les configurations aaa (trois angles) ne sont pas proposées, car elles ne déterminent aucune taille. Une infinité de triangles semblables les satisfont. Les résultats sont des nombres flottants : sur des triangles extrêmement aplatis, les derniers chiffres de l'aire perdent leur sens même avec la forme stable employée.
Piège classique : la loi des sinus cache une solutionAvec a = 8, b = 10 et A = 40°.
Avec a = 8, b = 10 et A = 40°. La loi des sinus donne sin B = 0,803, donc B = 53,5°, mais aussi B = 126,5°, tout aussi valide : deux triangles existent, d'aires très différentes. La plupart des calculatrices n'en montrent qu'un, et l'énoncé de l'exercice attend parfois l'autre. Ici les deux sont affichés côte à côte, avec la mention de ce qui permettrait de trancher. À l'inverse, si a = 6 avec les mêmes b et A, aucun triangle n'existe : a est plus court que la hauteur 10·sin 40° = 6,43.