Résolution de triangle (lois des sinus et des cosinus)
Un triangle résolu depuis SSS, SAS, ASA ou SSA, avec le cas ambigu traité : zéro, un ou deux triangles, tous affichés.
Résultat
a = 8 ; b = 10 ; c = 12,423
- Angles
- A = 40° ; B = 53,464° ; C = 86,536°
- Nature
- acutangle
- Aire
- 39,927
- Périmètre
- 30,423
- Rayon circonscrit R
- 6,2229
- Rayon inscrit r
- 2,6248
a = 8 ; b = 10 ; c = 2,8978
- Angles
- A = 40° ; B = 126,54° ; C = 13,464°
- Nature
- obtusangle
- Aire
- 9,3135
- Périmètre
- 20,898
- Rayon circonscrit R
- 6,2229
- Rayon inscrit r
- 0,89133
Remarque
Deux triangles satisfont cet énoncé (cas ambigu SSA) : l’angle B est aigu ou son supplémentaire. L’angle B, le côté c ou la nature du triangle permet de trancher.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationTrois éléments d'un triangle quelconque donnent les trois côtés, les trois angles, l'aire, le périmètre et les rayons inscrit et circonscrit.
Trois éléments d'un triangle quelconque donnent les trois côtés, les trois angles, l'aire, le périmètre et les rayons inscrit et circonscrit. En SSA (deux côtés et un angle non compris), zéro, un ou deux triangles existent selon les valeurs ; tous sont affichés. Une impossibilité est nommée avec sa raison : inégalité triangulaire, triangle plat, somme d'angles trop grande, côté trop court.
Méthode & formulesloi des cosinus : a² = b² + c² − 2bc·cos A
La loi des cosinus, qui généralise Pythagore, détermine un triangle sans ambiguïté. La loi des sinus en laisse une à partir d'un angle non compris, car sin θ = sin(180° − θ). Les angles sont recalculés par arccos, et l'aire par la forme stable de Héron (Kahan).
- Cas ambigu (SSA)
- deux côtés et un angle non compris entre eux. Avec h = b·sin A : si a < h, aucun triangle ; si a = h, un triangle rectangle ; si h < a < b, deux triangles ; si a ≥ b, un seul.
- Inégalité triangulaire
- chaque côté est strictement inférieur à la somme des deux autres. À l'égalité, les points sont alignés : triangle plat, d’aire nulle, signalé à part.
- Rayons R et r
- R (circonscrit) est le rayon du cercle passant par les trois sommets, r (inscrit) celui du cercle tangent aux trois côtés.
Domaine de validitéGéométrie euclidienne plane ; les triangles sphériques (navigation, géodésie) et hyperboliques ne sont pas traités.
Géométrie euclidienne plane ; les triangles sphériques (navigation, géodésie) et hyperboliques ne sont pas traités. La configuration AAA (trois angles) n'est pas proposée : elle ne fixe pas la taille. Sur des triangles extrêmement aplatis, les derniers chiffres de l'aire perdent leur sens.
Le cas ambigu SSAAvec a = 8, b = 10 et A = 40°, la loi des sinus donne sin B = 0,803, soit B = 53,5° ou B = 126,5° : deux triangles, d’aires très différentes.
Avec a = 8, b = 10 et A = 40°, la loi des sinus donne sin B = 0,803, soit B = 53,5° ou B = 126,5° : deux triangles, d’aires très différentes. L’arcsin ne donne que l’angle aigu. Avec a = 6 et les mêmes b et A, aucun triangle n’existe : a est plus court que la hauteur 10·sin 40° = 6,43.