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Théorème de Thalès

Longueur manquante d’une configuration de Thalès, ou test du parallélisme par la réciproque, avec le schéma à rapports exacts.

Paramètres

A est le sommet commun ; B et D sur une droite, C et E sur l’autre, (BC) // (DE).

Résultat

Longueur AE

7,5

Calcul
AE = AC × AD / AB = 3 × 5 / 2 = 7,5
Rapport de réduction
0,4
ADBEC
Remarques (2)

Par le théorème de Thalès, AE = 7,5.

Réciproque : les points doivent être alignés dans le même ordre (A, B, D d’une part, A, C, E de l’autre).

Calcul, hypothèses et sources

PrésentationThéorème de Thalès : quatrième longueur quand trois sont connues (AB/AD = AC/AE, par produit en croix), et réciproque, qui teste le parallélisme de deux droites en comparant les rapports.

Théorème de Thalès : quatrième longueur quand trois sont connues (AB/AD = AC/AE, par produit en croix), et réciproque, qui teste le parallélisme de deux droites en comparant les rapports. Le schéma respecte les rapports des longueurs saisies, parallèle en évidence.

Méthode & formulesAB/AD = AC/AE = BC/DE
AB/AD = AC/AE = BC/DEAE = AC × AD / ABréciproque : rapports égaux + même ordre ⇒ (BC) // (DE)

Deux droites sécantes en A, coupées par les parallèles (BC) et (DE) : les trois rapports sont égaux. Trois longueurs d’une égalité donnent la quatrième par produit en croix ; BC/DE relie les parallèles elles-mêmes.

Configuration de Thalès
deux droites sécantes en A et deux parallèles qui les coupent : B, D sur l’une, C, E sur l’autre.
Rapport de réduction
AB/AD, facteur qui fait passer du triangle ADE au triangle ABC ; au-delà de 1, c’est un agrandissement.
Réciproque
l’égalité des rapports prouve le parallélisme, à condition que les points soient alignés dans le même ordre.
Configuration papillon
B et C de l’autre côté de A, triangles opposés par le sommet ; les rapports restent égaux.
Domaine de validitéLe théorème vaut dans le plan euclidien ; les incertitudes viennent des mesures.

Le théorème vaut dans le plan euclidien ; les incertitudes viennent des mesures. La réciproque compare les rapports avec une tolérance relative, et un écart sous le pour mille relève de l’incertitude de mesure. L’alignement et l’ordre des points restent à vérifier sur la figure.

La condition d’alignementOutre l’égalité des rapports, la réciproque exige A, B, D alignés d’une part, A, C, E de l’autre, avec B entre A et D si et seulement si C est entre A et E.

Outre l’égalité des rapports, la réciproque exige A, B, D alignés d’une part, A, C, E de l’autre, avec B entre A et D si et seulement si C est entre A et E.

Lecture du résultatUn rapport de réduction de 0,4 signifie que le triangle ABC est ADE réduit à 40 % ; toutes les longueurs, BC comprise, suivent ce facteur.

Un rapport de réduction de 0,4 signifie que le triangle ABC est ADE réduit à 40 % ; toutes les longueurs, BC comprise, suivent ce facteur.