Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore dans ses trois usages : l’hypoténuse depuis les deux côtés de l’angle droit, un côté depuis l’autre et l’hypoténuse, et la réciproque, qui dit si trois longueurs forment un triangle rectangle, acutangle ou obtusangle. Le triangle est dessiné à l’échelle.

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.

Hypoténuse

le côté face à l’angle droit, le plus grand des trois. Les deux autres sont les côtés de l’angle droit (cathètes).

Réciproque

si a² + b² = c², l’angle face à c est droit. Elle vérifie un angle droit à partir de trois longueurs mesurées.

Triple pythagoricien

trois entiers vérifiant a² + b² = c² : 3-4-5 et ses multiples, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25…

Acutangle, obtusangle

si la somme des carrés des deux petits côtés dépasse le carré du plus grand, tous les angles sont aigus ; si elle est plus petite, un angle est obtus.

Le théorème vaut dans le plan euclidien. Appliqué à des longueurs mesurées, il hérite de leurs incertitudes, et la réciproque compare avec une tolérance relative. Sur une sphère (grandes distances terrestres), la somme des angles dépasse 180° et le théorème ne s’applique plus tel quel.

Pour vérifier un angle droit sur un chantier, on marque 60 cm sur un mur, 80 cm sur l’autre, et on mesure la diagonale : à 100 cm, l’angle est droit ; au-delà, il est obtus ; en deçà, aigu. La corde fermée à treize nœuds régulièrement espacés, tendue en triangle 3-4-5, servait au même tracé sans équerre.

L’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l’angle droit. En mode réciproque, l’écart relatif entre a² + b² et c² mesure l’éloignement au triangle rectangle ; sur des longueurs mesurées au millimètre, un écart inférieur au pour cent relève de la mesure.