Aires et volumes des formes usuelles
disque : A = πr², circonférence : P = 2πr
Dix-huit formes, de la plus scolaire à la moins courante : carré, rectangle, triangle, cercle, ellipse, trapèze, parallélogramme, losange, secteur circulaire et polygone régulier ; cube, pavé, sphère, cylindre, cône, pyramide, tore et calotte sphérique. Chaque résultat s'accompagne de sa formule et, pour les solides, de l'aire latérale distinguée de l'aire totale. Quand une grandeur n'est pas déterminée par les dimensions demandées, le périmètre d'un triangle dont on ne connaît que base et hauteur, l'outil le dit au lieu d'inventer un nombre.
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- Formule
- V = πr²h, A = 2πr(r + h)
Rappel utile : doubler une longueur quadruple l’aire et octuple le volume. C’est pourquoi un animal deux fois plus grand pèse huit fois plus mais n’a que quatre fois plus de section osseuse.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesdisque : A = πr², circonférence : P = 2πr
disque : A = πr², circonférence : P = 2πr
sphère : V = 4πr³/3, A = 4πr²
cylindre : V = πr²h, cône : V = πr²h/3
pyramide : V = (aire de base) × h / 3
Deux régularités valent d'être retenues plutôt que les dix-huit formules. D'abord, tout solide « pointu » (cône, pyramide) vaut exactement le tiers du solide droit de même base et même hauteur. Une seule idée pour deux formules. Ensuite, la surface de la sphère est la dérivée de son volume par rapport au rayon : 4πr² est ce qu'on ajoute en gonflant la boule d'une épaisseur infinitésimale. Ces liens ne sont pas des curiosités : ce sont eux que l'outil vérifie en tests, car une formule fausse les casserait forcément.
- Aire latérale et aire totale
- · l'aire latérale est celle de la surface courbe seule (le « tour » du cylindre) ; l'aire totale y ajoute les bases. La distinction compte : peindre un tuyau et peindre une boîte de conserve ne demandent pas la même quantité.
- Génératrice (apothème) d’un cône
- · la distance du sommet au bord de la base, g = √(r² + h²). Jamais la hauteur. C'est elle qui entre dans l'aire latérale πrg, et la confondre avec h est l'erreur la plus fréquente sur les cônes.
- Calotte sphérique
- · la portion de boule coupée par un plan. Sa surface courbe vaut 2πRh, indépendamment de l'endroit où l'on coupe, un résultat d'Archimède. Qui rend deux tranches de même épaisseur exactement équivalentes en surface.
Domaine de validitéLes unités sont celles que vous saisissez, l'outil ne convertit rien : tout doit être dans la même unité, et le résultat sort dans son carré ou son cube.
Les unités sont celles que vous saisissez, l'outil ne convertit rien : tout doit être dans la même unité, et le résultat sort dans son carré ou son cube. Le périmètre d'une ellipse est le seul résultat non exact du lot : il n'a pas de forme fermée élémentaire, et l'approximation de Ramanujan employée reste sous 5·10⁻⁵ d'erreur relative (exacte pour un cercle). Les formes sont supposées parfaites et régulières ; un objet réel bosselé, un polygone irrégulier ou un tronc de cône demandent d'autres formules.
Piège classique : l’aire et le volume ne changent pas comme la longueurDoubler une dimension ne double ni l'aire ni le volume : l'aire est multipliée par 4, le volume par 8.
Doubler une dimension ne double ni l'aire ni le volume : l'aire est multipliée par 4, le volume par 8. C'est pourquoi une pizza de 40 cm ne vaut pas deux pizzas de 20 cm mais quatre, et pourquoi les gros animaux ont des pattes disproportionnées. Leur masse croît comme le cube tandis que la section de leurs os ne croît que comme le carré. Autre piège fréquent : le périmètre d'un triangle ne se déduit pas de sa base et de sa hauteur ; une infinité de triangles partagent la même aire avec des périmètres différents. L'outil le signale plutôt que d'afficher un nombre.