Produit en croix (règle de trois)
directe : a → b, donc c → x = b × c / a
Le calcul le plus utilisé au monde, fait proprement : « si a donne b, que donne c ? » en proportionnalité directe (x = b·c/a), et son jumeau piégeux en proportionnalité inverse (x = a·b/c, ouvriers et durée. Vitesse et temps), que la plupart des règles de trois appliquent à tort en direct. Le choix de la situation est explicite, la formule est instanciée sous vos yeux, et chaque résultat est accompagné de la phrase qui le justifie.
20
- Calcul
- x = b × c ÷ a = 12 × 5 ÷ 3 = 20
Si 3 donne 12, alors 5 donne 20. Même taux, appliqué à la nouvelle valeur.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesdirecte : a → b, donc c → x = b × c / a
directe : a → b, donc c → x = b × c / a
inverse : a × b = c × x, donc x = a × b / c
En proportionnalité directe, le rapport se conserve (b/a = x/c) : doubler l'un double l'autre. En proportionnalité inverse, c'est le produit qui se conserve (a·b = c·x) : doubler l'un divise l'autre par deux. Le produit en croix est la même manipulation algébrique dans les deux cas, ce qui change. C'est la loi que suit la situation, et c'est à vous de la reconnaître : l'outil vous demande laquelle, il ne devine pas.
- Quatrième proportionnelle
- · la valeur x qui complète le tableau de proportionnalité, celle que le produit en croix calcule.
- Situation directe
- · les deux grandeurs croissent ensemble à taux constant : prix et quantité, distance et durée à vitesse fixée, doses d’une recette.
- Situation inverse
- · l’une croît quand l’autre décroît, à produit constant : plus d’ouvriers = chantier plus court, plus de vitesse = trajet plus court.
Domaine de validitéLe calcul suppose que la situation est proportionnelle (directe ou inverse) sur la plage considérée.
Le calcul suppose que la situation est proportionnelle (directe ou inverse) sur la plage considérée. Beaucoup ne le sont pas : un tarif dégressif, un chantier où les ouvriers se gênent, une vitesse qui sature. La proportionnalité est une hypothèse de modélisation, pas une propriété automatique ; l'outil l'applique exactement, il ne la vérifie pas.
Piège classique : appliquer la règle directe à une situation inverse« 4 ouvriers mettent 6 jours ; combien mettent 8 ouvriers ?
« 4 ouvriers mettent 6 jours ; combien mettent 8 ouvriers ? » La règle directe répondrait 12 jours. Deux fois plus d'ouvriers, deux fois plus de temps. Absurde. La situation est inverse : le produit ouvriers × jours se conserve (4 × 6 = 24), donc 8 ouvriers mettent 3 jours. Le produit en croix ne protège pas de ce piège : il calcule juste dans la loi qu'on lui donne. Reconnaître la loi est l'étape qui pense.