Plan incliné et frottements
composantes : P∥ = mg sin θ, P⊥ = mg cos θ
Le problème canonique de la mécanique : un solide sur une pente, avec frottement sec. L'outil tranche d'abord la vraie question, tient-il ou glisse-t-il, par le critère tan θ ≤ μs ; donne l'angle critique de glissement, qui ne dépend ni de la masse ni de la pesanteur ; décompose le poids en composantes motrice et normale ; et sert l'accélération de glissement quand elle existe, jamais quand le solide tient. Il sépare soigneusement le frottement statique réellement exercé, qui équilibre exactement la pente, du maximum disponible μs·N, la confusion la plus fréquente du chapitre.
Le solide glisse
- Calcul
- tient si tan θ ≤ μs : tan θ = 0,57735, μs = 0,5
- Accélération de glissement
- a = g(sin θ − μk cos θ) = 9,8067 × (sin 30° − 0,4 × cos 30°) = 1,5062 m/s²
Le solide glisse, avec une accélération de 1,5062 m/s² le long de la pente.
L’angle critique arctan(μs) ne dépend ni de la masse ni de la pesanteur : la caisse pleine et la caisse vide glissent au même angle, sur Terre comme sur la Lune. La masse s’est simplifiée entre le poids qui pousse et le poids qui plaque. Mesurer cet angle est d’ailleurs la façon la plus simple de mesurer μs : on incline jusqu’au glissement.
L’accélération de glissement ne dépend pas non plus de la masse : g(sin θ − μk cos θ), la masse s’est encore simplifiée. Plus lourd ne dévale pas plus vite.
Le modèle est celui du frottement sec de Coulomb : coefficients constants, indépendants de la vitesse et de l’aire de contact, solide indéformable qui glisse sans rouler. Les coefficients réels dépendent de l’état des surfaces, de l’humidité et de la température ; ceux des tables sont des ordres de grandeur, pas des constantes de la nature.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulescomposantes : P∥ = mg sin θ, P⊥ = mg cos θ
composantes : P∥ = mg sin θ, P⊥ = mg cos θ
tient si : tan θ ≤ μs
angle critique : θc = arctan(μs)
glissement : a = g(sin θ − μk cos θ)
Tout le problème tient dans la décomposition du poids : la composante parallèle pousse le solide vers le bas de la pente, la composante normale le plaque contre elle, et le frottement disponible est proportionnel à cette dernière. Le critère de tenue compare les deux, et la masse s'y simplifie : il ne reste que l'angle et le coefficient.
- μs
- · coefficient de frottement statique : la capacité maximale du contact à retenir, avant tout mouvement.
- μk
- · coefficient cinétique, toujours inférieur ou égal à μs : glisser demande moins que décoller.
- Angle critique
- · arctan(μs), l’angle au-delà duquel le solide glisse. Indépendant de la masse.
- Réaction normale
- · la force du support, perpendiculaire à la pente : mg cos θ sur un plan simple.
Domaine de validitéLe modèle est le frottement sec de Coulomb : coefficients constants, indépendants de la vitesse et de l'aire de contact, solide indéformable qui glisse sans rouler ni basculer.
Le modèle est le frottement sec de Coulomb : coefficients constants, indépendants de la vitesse et de l'aire de contact, solide indéformable qui glisse sans rouler ni basculer. Les coefficients réels dépendent de l'état des surfaces, de l'humidité et de la température ; les valeurs des tables sont des ordres de grandeur. Un objet haut et étroit peut basculer avant de glisser, ce que ce critère ne couvre pas ; une roue qui roule relève du roulement, pas du glissement. μk supérieur à μs est refusé comme incohérence, et l'angle vit strictement entre 0 et 90 degrés.
Lecture du résultatLa distinction qui compte : tant que le solide tient, le frottement statique n'est pas à son maximum : il vaut exactement ce qu'il faut pour équilibrer la composante motrice, ni plus ni moins.
La distinction qui compte : tant que le solide tient, le frottement statique n'est pas à son maximum : il vaut exactement ce qu'il faut pour équilibrer la composante motrice, ni plus ni moins. Le maximum μs·N est une capacité, pas une valeur. Et deux masses différentes se comportent identiquement : même angle critique, même accélération de glissement, la masse s'étant simplifiée partout. C'est pourquoi mesurer l'angle de glissement est la façon la plus simple de mesurer μs.