Points de Lagrange : les cinq équilibres et les régions interdites

Positions des cinq points de Lagrange du problème restreint circulaire, constantes de Jacobi C1 à C4 et stabilité linéaire de L4 et L5 (critère de Routh), à partir des deux masses. Pour une constante de Jacobi choisie, la courbe de vitesse nulle sépare les régions accessibles des régions interdites.

Dans le repère qui tourne avec la paire, les cinq équilibres existent grâce au terme centrifuge (x² + y²)/2. L4 et L5 sont à la distance 1 de chacun des deux corps. C1 > C2 > C3 > C4 pour tout μ admissible.

Problème restreint circulaire

deux corps massifs en orbite circulaire autour de leur barycentre, et un troisième de masse négligeable, soumis à leur gravité sans perturber leur orbite.

Potentiel effectif (Ω)

la somme du potentiel gravitationnel des deux corps et du potentiel centrifuge du repère tournant.

Constante de Jacobi (C)

C = 2Ω − v², seule intégrale première du problème restreint.

Courbe de vitesse nulle

la frontière 2Ω = C, où la vitesse du troisième corps est nulle. Au-delà, v² serait négatif.

Col

passage entre deux régions accessibles, ouvert quand C est inférieure à la constante du point colinéaire correspondant : sous C1 entre les deux corps massifs, sous C2 vers l’extérieur au-delà du secondaire, sous C3 du côté opposé au principal. Sous C4, la région interdite a disparu.

Critère de Routh

condition 27 μ (1 − μ) < 1 de stabilité linéaire de L4 et L5. Le seuil est μ = (9 − √69)/18 ≈ 0,0385209.

• Problème restreint circulaire : les deux corps massifs décrivent un cercle autour de leur barycentre. Sur une orbite excentrique, la constante de Jacobi n’est plus conservée.
• Aucune trajectoire n’est intégrée : la courbe de vitesse nulle borne où le corps peut aller, pas où il va.
• La stabilité de L4 et L5 est linéaire (critère de Routh), sans analyse à long terme sous perturbations.
• Les points colinéaires sont obtenus par bissection, jusqu’à un encadrement de largeur 10⁻¹⁵ séparation. Sur 1004 valeurs de μ : 51 itérations au pire, résidu |dΩ/dx| ≤ 8 × 10⁻¹⁵ aux racines.
• La courbe de vitesse nulle est tracée par marching squares sur 241 × 161 nœuds. Écart normal à l’isoligne exacte : 0,43 unité de tracé au pire sur cinq réglages, moins d’une demi-cellule. Cet écart diverge quand C tend vers C4, où la région interdite se contracte sur le minimum du potentiel.
• Le rapport de masses Terre/Lune et la séparation lunaire sont des exemples préremplis ; le calcul est sans dimension.

Les orbites de halo et de Lissajous, les captures et les échappements ne sont pas calculés. La borne basse μ = 10⁻⁷ est une limite d’affichage : en dessous, les cols de L1 et L2 se referment sur le secondaire à moins d’un point d’écran, et un zoom local briserait ce cadre. À mi-domaine, la bande interdite passe de 2,67 mailles à μ = 10⁻⁵ à 0,58 maille à 10⁻⁷ ; sous une maille, vers 5 × 10⁻⁷, elle n’est plus tracée d’un seul trait. La bissection converge aussi sous cette borne.

• m2 ≥ 0modèle · refus

  Le paramètre de masse μ = M2/(M1 + M2) doit être compris entre 10⁻⁷ et 0,5. Borne haute : convention du premier corps le plus massif. Borne basse : limite d’affichage de la figure.

  À la place · Si M2 dépasse M1, échangez les deux masses. Sous μ = 10⁻⁷, les positions se calculent à la main par le développement en rayon de Hill, a (μ/3)^(1/3).

• 2.5 ≤ c ≤ 4.2modèle · refus

  La constante de Jacobi doit rester dans le domaine utile du couple saisi, affiché sous la figure. Les bornes déclarées en sont l’enveloppe sur tout μ admissible ; le domaine réel, plus étroit, se resserre quand μ diminue.

  À la place · Choisissez une valeur entre les quatre constantes affichées sous la figure.

Rien n’attire vers les cinq points : la gravité des deux corps et la force centrifuge s’y compensent. L1 (entre les deux corps), L2 (au-delà du secondaire) et L3 (de l’autre côté du principal) sont des cols du potentiel effectif, instables quelles que soient les masses ; L4 et L5 en sont les minima, et leur stabilité linéaire dépend de la force de Coriolis. Ces équilibres n’existent que dans le repère tournant, où les deux corps massifs sont fixes. La carte n’est donc pas une carte de gravité.

Rapport de masses 81,3005691 (constantes d’en-tête de DE440), soit μ = 0,0121506 ; séparation 384 399 km. L1 est à 58 019 km de la Lune et L2 à 64 515 km, à environ un rayon de Hill ; L3 est à 381 674 km de la Terre. C1 = 3,18834, C2 = 3,17216, C3 = 3,01215 et C4 = 2,98800. 27 μ (1 − μ) = 0,324 080 < 1 : L4 et L5 sont linéairement stables.

1. Szebehely, V., Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, 1967.

   Emplacement : Academic Press, New York: effective potential, Jacobi constant, zero-velocity curves, the five libration points and the Routh stability condition · consulté le 2026-08-26

2. Park, R. S., Folkner, W. M., Williams, J. G. & Boggs, D. H., The JPL Planetary and Lunar Ephemerides DE440 and DE441, 2021.

   Emplacement : AJ 161:105, DE440 header constants: Earth/Moon mass ratio 81.3005691 · consulté le 2026-08-26 · DOI 10.3847/1538-3881/abd414

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Le résultat suit le nombre de chiffres significatifs de l'entrée la moins précise.

révision 1 · relu le 26 août 2026

Journal des révisions

1. révision 1 · 2026-08-26 · changement de périmètre

   Création de l’outil : points de Lagrange du problème restreint circulaire (L1 à L3 par bissection, L4 et L5 en forme close), constantes de Jacobi, courbe de vitesse nulle et critère de Routh 27 μ (1 − μ) < 1.

   Première version, sans valeur antérieure. Valeurs de contrôle : L1 à 58 018,99 km et L2 à 64 514,74 km de la Lune (exemple Terre-Lune).