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Gravitation et orbites circulaires

Vitesse orbitale, période, vitesse de libération et pesanteur locale d’une orbite circulaire, pour n’importe quel corps central, ISS comprise.

Système

Le corps central
kgValeur d’exemple : 5,972 × 10²⁴ kg, la masse de la Terre (Soleil ≈ 1,989 × 10³⁰ kg, Lune ≈ 7,35 × 10²² kg). Se saisit en notation 5.972e24.
kmSert seulement à l’affichage (disque à l’échelle, altitude h = r − R). Valeur d’exemple : 6 371 km.
L’orbite
kmCompté depuis le centre du corps, pas depuis sa surface : rayon du corps + altitude. Valeur d’exemple : 6 771 km, l’orbite de l’ISS (6 371 + 400).

Orbite

le plan et la montée
M 5,97 × 10²⁴ kg · r 6771 km · R 6371 kmvgcorps centralsatellite1 px = 0,137 km/s1 px = 0,229 m/s²rayon orbital r 6771 kmrayon du corps R 6371 kmaltitude h 400 km0510vitesse (km/s)v 7,67 · vlib 10,90100200période (min)T 92,4 min0500010 0000510rayon depuis le centre (km)pesanteur (m/s²)g 8,69
Vitesse
v = √(G·M/r), G = 6,6743 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²) → v = 7,6725 km/s
Période
T = 2π·r/v = 5544,9 s
Libération
vlib = √(2·G·M/r) = √2·v = 10,851 km/s
Remarque

La bande claire des trois panneaux est l’intérieur du corps, où ces lois ne s’appliquent pas.

les trois lois du rayonla vitesse de libération, √2 fois l’orbitaleles valeurs à l’orbite saisie

Résultat

calcul continu
À cette orbite
v7,6725km/sbouclée en 1 h 32 min
Période de révolution
5544,9 s
Vitesse de libération
10,851 km/s
Pesanteur à ce rayon
8,694 m/s²

Vitesse de libération depuis ce rayon : 10,851 km/s, soit √2 fois les 7,6725 km/s de l’orbite.

Ce que la masse fixe
Constante de Kepler
10 096 km³/s²

Elle ne dépend que de la masse centrale.

Calcul, hypothèses et sources

PrésentationLa masse du corps central et le rayon orbital donnent la vitesse orbitale, la période de révolution (3e loi de Kepler), la vitesse de libération et la pesanteur locale.

La masse du corps central et le rayon orbital donnent la vitesse orbitale, la période de révolution (3e loi de Kepler), la vitesse de libération et la pesanteur locale.

Méthode & formulesv = √(G·M / r)
v = √(G·M / r)T = 2π·√(r³ / G·M), Kepler : r³/T² = G·M/4π²vlib = √(2·G·M / r) = √2 · vg(r) = G·M / r²G = 6,674 30 × 10⁻¹¹ m³/(kg·s²), codata 2018

La gravitation fournit l’accélération centripète (G·M·m/r² = m·v²/r) et la masse du satellite s’élimine. La troisième loi de Kepler en découle. La vitesse de libération vient de l’énergie (½mv² = G·M·m/r) et vaut √2 fois la vitesse orbitale circulaire, à toute altitude. G est connue à 2,2 × 10⁻⁵ près en valeur relative ; les résultats héritent de cette précision.

Rayon orbital (r)
la distance au centre du corps central : rayon du corps plus altitude.
Vitesse de libération
la vitesse minimale pour s’éloigner à l’infini sans propulsion supplémentaire, depuis la distance r. Elle ne dépend pas de la direction du tir ; 11,2 km/s depuis le sol terrestre.
Rayon du corps (R)
sert seulement à l’affichage : le corps central à l’échelle de l’orbite et l’altitude h = r − R. Le calcul n’utilise que M et r.
Constante de Kepler (r³/T²)
identique pour tous les satellites d’un même corps central, la Lune comme l’ISS.
Domaine de validitéOrbites circulaires autour d’un corps à symétrie sphérique, masse du satellite négligeable devant M.

Orbites circulaires autour d’un corps à symétrie sphérique, masse du satellite négligeable devant M. Les orbites elliptiques, les perturbations (aplatissement J2, traînée atmosphérique, troisième corps) et les effets relativistes sont hors modèle. Une orbite géostationnaire vise le jour sidéral (86 164 s), non le jour solaire de 86 400 s. Les masses d’astres données en aide sont connues bien mieux que G ; l’incertitude vient de G.

Rayon orbital et altitudePour l’ISS, r = 6 771 km.

Pour l’ISS, r = 6 771 km. Avec l’altitude de 400 km à la place du rayon, on obtiendrait 31,6 km/s au lieu de 7,67 km/s et une période de 80 secondes au lieu de 92 minutes. La vitesse orbitale varie comme 1/√r : l’ISS boucle en 92 minutes, la Lune en 27 jours. Un satellite freiné descend, puis accélère.