Pendule simple et masse-ressort
Période, fréquence et pulsation du pendule simple et de l’oscillateur masse-ressort, avec la correction d’amplitude exacte par l’intégrale elliptique.
Les deux pendules
dix oscillations de T₀, en temps réel- Petites oscillations
- T₀ = 2π·√(L/g) = 2π·√(1 ÷ 9,8066) = 2,0064 s
- Correction d’amplitude
- T = T₀ × 1,0732 = 2,1532 s
Remarques (2)
Deux pendules lâchés ensemble à la même amplitude : l’un bat à la période des petites oscillations T₀, l’autre à la période exacte T, et l’écart s’accumule.
Chaque pendule est dessiné sur une cosinusoïde de sa propre période ; la forme d’onde elliptique du pendule exact n’est pas calculée.
la règle des petites oscillations, T₀le pendule exact, T, et son retard
Résultat
calcul continu- Période des petites oscillationsT0
- 2,0064 s
- Facteur d’amplitudeT/T0
- 1,0732
- Dérive par périodeT/T0 − 1
- +7,3182 %
- Fréquencef
- 0,46442 Hz
- Pulsationω
- 2,918 rad/s
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationPériode, fréquence et pulsation du pendule simple (T = 2π·√(L/g), pesanteur modifiable, Terre, Lune, Mars) et du système masse-ressort (T = 2π·√(m/k)).
Période, fréquence et pulsation du pendule simple (T = 2π·√(L/g), pesanteur modifiable, Terre, Lune, Mars) et du système masse-ressort (T = 2π·√(m/k)). Avec l'amplitude, la période du pendule reçoit la correction exacte de l'intégrale elliptique : +18 % à 90°.
Méthode & formulespendule : T₀ = 2π·√(L/g)
La formule des petites oscillations suppose sin θ ≈ θ. La correction exacte passe par l'intégrale elliptique complète K, calculée par la moyenne arithmético-géométrique selon l’identité de Gauss (2/π)·K(sin(θ₀/2)) = 1/agm(1, cos(θ₀/2)).
- Isochronisme
- aux petites oscillations, la période ne dépend pas de l'amplitude (Galilée). L'écart croît avec l'amplitude : +0,19 % à 10°, +1,7 % à 30°, +18 % à 90°.
- Pulsation (ω)
- vitesse angulaire du mouvement circulaire équivalent, ω = 2πf, en rad/s, qui figure dans x(t) = A·cos(ωt + φ).
- Raideur (k)
- constante de la loi de Hooke F = −k·x, en newtons par mètre d’allongement. Deux ressorts identiques valent k/2 en série et 2k en parallèle.
Domaine de validitéLe pendule est simple : masse ponctuelle, fil inextensible et sans masse, pas de frottement.
Le pendule est simple : masse ponctuelle, fil inextensible et sans masse, pas de frottement. Une tige massive ou un amortissement relèvent du pendule composé, non traité. La correction d'amplitude vaut de 0 à 180° exclus ; à 180°, l'équilibre est instable et la période infinie. Le ressort est linéaire (loi de Hooke) et de masse négligeable devant m ; un ressort réel ajoute environ un tiers de sa masse à la masse oscillante.
Période et masseLa période du pendule simple ne dépend pas de la masse : comme en chute libre, la masse qui gravite et celle qui résiste s'éliminent.
La période du pendule simple ne dépend pas de la masse : comme en chute libre, la masse qui gravite et celle qui résiste s'éliminent. Elle ne dépend que de L et de g. Celle du masse-ressort dépend de la masse, pas de g.
Lire le chronogramme et l’abaqueLe chronogramme marque chaque oscillation : un trait à n·T₀ pour la règle des petites oscillations, un trait à n·T pour le pendule exact.
Le chronogramme marque chaque oscillation : un trait à n·T₀ pour la règle des petites oscillations, un trait à n·T pour le pendule exact. Le retard coté, t/T₀ − t/T, se compte en oscillations de T₀ ; le segment entre les deux rangs le donne en secondes. L'abaque trace la période exacte T(θ₀) = T₀ / agm(1, cos(θ₀/2)) de 0 à 180° exclus, avec en tireté la période des petites oscillations et en point l'amplitude saisie.