Pendule simple et masse-ressort
pendule : T₀ = 2π·√(L/g)
Les deux oscillateurs du cours : le pendule simple (T = 2π·√(L/g), pesanteur modifiable, Terre, Lune, Mars) et le système masse-ressort (T = 2π·√(m/k)). L'hypothèse des petites oscillations est affichée, pas cachée. Et si vous renseignez l'amplitude, la période est corrigée exactement par l'intégrale elliptique (moyenne arithmético-géométrique de Gauss) : à 90° d'amplitude, la période réelle est 18 % plus longue que la formule scolaire, et l'outil vous le montre.
2,0064 s
- Calcul
- T₀ = 2π·√(L/g) = 2π·√(1 ÷ 9,8067) = 2,0064 s
T = 2,0064 s aux petites oscillations. La période ne dépend NI de la masse NI de l'amplitude (tant qu'elle reste petite) : c'est l'isochronisme de Galilée.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulespendule : T₀ = 2π·√(L/g)
pendule : T₀ = 2π·√(L/g)
masse-ressort : T = 2π·√(m/k)
f = 1/T, ω = 2π/T
grande amplitude : T = T₀ / agm(1, cos(θ₀/2)). Exact
Deux systèmes, une même structure : la période vaut 2π fois la racine d'un rapport « inertie sur rappel ». Le pendule ignore la masse (elle est des deux côtés de l'équation, comme en chute libre) ; le ressort ignore la pesanteur. Pour l'amplitude, la formule scolaire suppose sin θ ≈ θ ; la correction exacte passe par l'intégrale elliptique complète K, évaluée ici par la moyenne arithmético-géométrique. L'identité de Gauss (2/π)·K(sin(θ₀/2)) = 1/agm(1, cos(θ₀/2)). Qui converge à la précision machine en quelques itérations.
- Isochronisme
- · aux petites oscillations, la période ne dépend pas de l'amplitude, l'observation de Galilée qui a fondé l'horlogerie. Elle cesse d'être vraie aux grandes amplitudes : +0,05 % à 10°, +1,7 % à 30°, +18 % à 90°.
- Pulsation (ω)
- · la vitesse angulaire du mouvement circulaire équivalent, en rad/s : ω = 2πf. C'est elle qui apparaît dans x(t) = A·cos(ωt + φ).
- Raideur (k)
- · la constante de proportionnalité de la loi de Hooke F = −k·x, combien le ressort tire par mètre d’allongement. Deux ressorts identiques en série : k/2 ; en parallèle : 2k.
Domaine de validitéLe pendule est modélisé simple : masse ponctuelle, fil inextensible et sans masse.
Le pendule est modélisé simple : masse ponctuelle, fil inextensible et sans masse. Sans frottement, un pendule réel (tige massive, amortissement) demande le pendule composé, hors de cet outil. La correction d'amplitude est exacte pour ce modèle, de 0 à 180° exclus (à 180°, équilibre instable, période infinie). Le ressort est supposé linéaire (loi de Hooke) et de masse négligeable devant m ; un ressort réel ajoute environ un tiers de sa propre masse à l'oscillation.
Piège classique : alourdir le pendule ne change rienLa période du pendule simple ne dépend pas de la masse, comme la chute libre.
La période du pendule simple ne dépend pas de la masse, comme la chute libre. Et pour la même raison : la masse gravite et résiste à la fois, et s'élimine. Elle ne dépend que de L et de g : c'est d'ailleurs ainsi qu'on mesurait g. Le masse-ressort, lui, fait exactement l'inverse : sa période dépend de la masse mais pas de g, suspendu ou horizontal, sur Terre ou sur la Lune, il bat pareil. Confondre les deux dépendances est l'erreur d'examen type.