Orbite képlérienne : position, vitesse et loi des aires

La masse centrale, le demi-grand axe, l’excentricité et l’instant donnent, par l’équation de Kepler, la position sur l’ellipse, la vitesse (vis-viva), l’accélération vers le foyer occupé, les deux apsides et les invariants h et ε. La vue « loi des aires » découpe l’ellipse en douze secteurs de même durée et de même aire.

L’équation de Kepler n’a pas de solution en fonctions élémentaires : le solveur applique la méthode de Newton jusqu’à un résidu inférieur à 10⁻¹² (neuf itérations au pire à e = 0,95). Vitesse, apsides, aire balayée et invariants s’en déduisent sous forme close. G est la valeur CODATA 2018, celle de l’outil gravitation et orbites.

Demi-grand axe (a)

la moitié du grand axe de l’ellipse. Il fixe seul la période (troisième loi) et l’énergie ε = −μ/(2a).

Excentricité (e)

l’aplatissement de l’orbite : 0 pour un cercle, proche de 1 pour une ellipse très allongée. Les foyers sont à la distance a·e du centre.

Anomalies (M et E)

deux angles qui repèrent le corps sur son orbite. M, l’angle moyen, croît linéairement avec le temps ; E repère la position vraie sur l’ellipse. L’équation de Kepler les relie.

Périastre et apoastre

les deux extrémités du grand axe : r_péri = a(1−e), le point le plus proche et le plus rapide ; r_apo = a(1+e), le plus lointain et le plus lent. La conservation de h impose r_péri·v_péri = r_apo·v_apo.

Vitesse aréolaire (dA/dt)

l’aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps. Elle est constante et vaut πab/T = h/2 (deuxième loi de Kepler).

• Corps d’épreuve : m ≪ M, le corps central est ponctuel et fixe au foyer occupé. Le mouvement des deux masses autour du barycentre n’est pas traité.
• Gravitation newtonienne à deux corps : ni aplatissement J2, ni traînée atmosphérique, ni troisième corps, ni relativité.

L’avance du périhélie de Mercure, 43″ par siècle (Le Verrier, 1859), expliquée par la relativité générale (Einstein, 1915), est hors de ce modèle. La conversion 1 au = 149 597 870 700 m est exacte par définition (IAU 2012 B2) ; l’incertitude des résultats vient de G et des entrées.

• 0 ≤ e ≤ 0.95pratique · refus

  L’excentricité est bornée entre 0 (cercle) et 0,95, limite de l’affichage et des tests du solveur.

  À la place · Pour une orbite quasi circulaire, saisissez e = 0 ; une trajectoire quasi parabolique ou hyperbolique sort de ce modèle.

Sur la chronique, r/a va de 1 − e à 1 + e ; son amplitude est l’excentricité. Le corps passe la plus grande partie de sa période loin du foyer, où il va lentement. À durée égale T/12, l’arc parcouru est long au périastre et court à l’apoastre, pour une même aire πab/12.

Avec les éléments moyens de Mercure proposés par le formulaire (table de Standish, JPL, valables 1800-2050) et M = GM du Soleil / G, le modèle donne T = 87,969 jours, la période observée de Mercure, v_péri ≈ 59 km/s et v_apo ≈ 39 km/s.

1. IAU, Resolution B2 on the re-definition of the astronomical unit of length, 2012.

   Emplacement : Resolution B2 (2012): 1 au = 149 597 870 700 m exactly · consulté le 2026-08-25

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Le résultat suit le nombre de chiffres significatifs de l'entrée la moins précise.

révision 1 · relu le 25 août 2026

Journal des révisions

1. révision 1 · 2026-08-25 · changement de périmètre

   Création de l’outil : état orbital exact à l’instant t sur la branche elliptique, apsides, invariants h et ε, accélération μ/r², loi des aires en douze secteurs de durées égales.

   Premier résultat publié de l’outil, sans valeur antérieure à comparer.