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Transit d’exoplanète : courbe de lumière, profondeur et durées

Courbe de lumière d’un transit d’exoplanète : profondeur, durées T14 et T23 et forme du fond, avec assombrissement centre-bord.

Système

La géométrie du transit
Rp/Rs, strictement entre 0 et 1. Exemple : 0,12086 pour HD 209458b.
En rayons stellaires ; transit rasant au-delà de 1 − k. cos i = b / (a/Rs).
Doit dépasser 1 + k. Exemple : 8,76 pour HD 209458b.
jExemple : 3,52474859 j pour HD 209458b. Orbite supposée circulaire.
L’étoile
I(μ) = 1 − u₁(1−μ) − u₂(1−μ)² ; u₁ = u₂ = 0 donne un disque uniforme. Valeurs par bande et type stellaire : Claret & Bloemen (2011).
Domaine : u₁ > 0, u₁ + u₂ < 1, u₁ + 2u₂ > 0 (Kipping 2013).
L’instant observé
hCompté depuis le milieu du transit, négatif avant.

Transit

le ciel et l’enregistrement
k 0,121 · b 0,503 · a/Rs 8,76t = 0 ht₁t₂t₃t₄b = 0,503fenêtre du transit seul, P = 3,52 j−2−10120,9850,990,9951h depuis le milieuflux relatifT14 = 3,09 ht₁t₂t₃t₄profondeur 1,46 %T23 = 2,22 hF = 0,985 393
t = 0 h

Lecture en douze secondes d’écran pour 4,0186 h de fenêtre : 0,33488 h de transit par seconde.

Séparation projetée
z = (a/Rs)·√(sin²φ + cos²i·cos²φ) = 0,50273
Flux, forme close
F = 1 − λ(k, z) = 0,985 393
Durées de Winn
T14 = (P/π)·arcsin[√((1+k)² − b²) / ((a/Rs)·sin i)] = 3,0912 h

la géométrie et la courbeles quatre contacts, t₁ à t₄la profondeur δ, la réponse

Résultat

calcul continu
La courbe
δ1,4607% du fluxcuvette à fond plat
Durée totale du transit
3,0912 h
Durée du fond plat
2,2231 h
Durée d’entrée, puis de sortie
26,045 min
Flux au fond du transit
0,985 393
À l’instant t
Flux relatif
0,985 393
Séparation projetée
0,50273 Rs

À t = 0 h, la planète est entièrement devant l’étoile.

Ce que la géométrie fixe
Inclinaison déduite
86,71°
Profondeur à disque uniforme
1,4607 %
Part de l’orbite en transit
3,6542 %

Calcul, hypothèses et sources

Provisoire · Modèle physique · 4 sources citées · relu le 26 août 2026

PrésentationLe rayon relatif k, le paramètre d’impact b, le demi-grand axe relatif a/Rs, la période et deux coefficients d’assombrissement centre-bord donnent la courbe de lumière du transit, sa profondeur et ses durées T14 et T23.

Le rayon relatif k, le paramètre d’impact b, le demi-grand axe relatif a/Rs, la période et deux coefficients d’assombrissement centre-bord donnent la courbe de lumière du transit, sa profondeur et ses durées T14 et T23.

Méthode & formulesz(t) = (a/Rs) √(sin²(2πt/P) + cos²i · cos²(2πt/P))
z(t) = (a/Rs) √(sin²(2πt/P) + cos²i · cos²(2πt/P))b = (a/Rs) cos i, donc z(0) = bF = 1 − λ(p, z), λ = aire occultée / aire du disque (disque uniforme)I(μ) = 1 − u₁(1 − μ) − u₂(1 − μ)², μ = cos θT14 = (P/π) arcsin[ √((1+k)² − b²) / ((a/Rs) sin i) ]T23 = (P/π) arcsin[ √((1−k)² − b²) / ((a/Rs) sin i) ]

La séparation projetée z, distance entre les centres de l’étoile et de la planète en rayons stellaires, vaut b au milieu du transit, 1 − k aux deuxième et troisième contacts et 1 + k aux premier et quatrième. À disque uniforme, le flux est la forme close de Mandel & Agol, rapport d’aires de deux disques qui se recouvrent ; avec assombrissement centre-bord, il est intégré par quadrature radiale.

Rayon relatif (k = Rp/Rs)
le rayon de la planète rapporté à celui de l’étoile.
Paramètre d’impact (b)
la distance du centre stellaire à la corde suivie par la planète, en rayons stellaires : b = (a/Rs) cos i.
T14 et T23
durées du premier au quatrième contact (T14) et du deuxième au troisième (T23, disque planétaire entièrement devant l’étoile). Les durées d’entrée et de sortie valent (T14 − T23)/2.
Assombrissement centre-bord
la décroissance de l’intensité du centre du disque stellaire vers le limbe, où l’on voit des couches plus hautes et plus froides de l’atmosphère.
Transit rasant
un transit où b dépasse 1 − k : le disque planétaire n’entre pas entièrement devant l’étoile. T23 n’existe pas, le fond plat non plus, et la courbe fait un V.
HypothèsesOrbite circulaire : ni excentricité, ni précession, ni variation des instants de transit.
  • Orbite circulaire : ni excentricité, ni précession, ni variation des instants de transit. Une orbite excentrique modifie les durées, jusqu’à un facteur (1 − e²)^(1/2)/(1 ± e sin ω) sur T14.
  • Étoile sphérique sans taches ni pulsations, planète opaque sans atmosphère ni anneaux ; profondeur indépendante de la longueur d’onde.
  • Assombrissement quadratique intégré par quadrature radiale, et non par la forme close à intégrales elliptiques de Mandel & Agol. Écart à la forme close du disque uniforme : 5,1 × 10⁻⁸ à k = 0,12086, 1,4 × 10⁻⁷ au plus sur k ∈ [0,05 ; 0,2].
  • u₁ et u₂ sont saisis, dans le triangle physique de Kipping (2013) ; les tables de Claret & Bloemen (2011) ne sont pas intégrées.
Domaine de validité2 limites de validité ; le calcul refuse les valeurs hors de 2 d’entre elles

  • 0 ≤ k ≤ 1physique · refus

    Le rayon relatif k = Rp/Rs est compris strictement entre 0 et 1 : à k ≥ 1, l’occulteur est plus grand que l’étoile.

    À la place · Une géante gazeuse devant une naine a k < 0,3. Au-delà de 1, le système est une binaire à éclipses, hors de ce modèle.

  • b ≥ 0physique · refus

    Le paramètre d’impact se compte depuis le centre de l’étoile : b ≥ 0. Au-delà de 1 + k, les deux disques ne se recouvrent pas et il n’y a pas de transit.

    À la place · Entre 1 − k et 1 + k, le transit est rasant et reste calculé.

Profondeur et k²À disque uniforme, la profondeur vaut k² quel que soit b, tant que la planète entre entièrement devant l’étoile.

À disque uniforme, la profondeur vaut k² quel que soit b, tant que la planète entre entièrement devant l’étoile. Avec assombrissement centre-bord, elle dépasse k² quand la planète passe au centre, région la plus brillante, et diminue près du limbe, plus sombre. Le rayon planétaire ne se déduit de la profondeur mesurée qu’avec un modèle d’assombrissement.

Exemple : HD 209458bÉléments de Torres, Winn & Holman (2008) pour HD 209458b, valeurs d’exemple du formulaire : P = 3,52474859 j, k = 0,12086, a/Rs = 8,76 et i = 86,71°, d’où b = (a/Rs) cos i = 0,5027.

Éléments de Torres, Winn & Holman (2008) pour HD 209458b, valeurs d’exemple du formulaire : P = 3,52474859 j, k = 0,12086, a/Rs = 8,76 et i = 86,71°, d’où b = (a/Rs) cos i = 0,5027. Le modèle donne T14 = 3,091 h et une profondeur k² = 1,4607 %. La durée publiée est d’environ 3,07 h ; l’écart de 0,7 % tient au modèle circulaire.

SourcesMandel, K. & Agol, E. · Winn, J. N. · Torres, G., Winn, J. N. & Holman, M. J. + 1 autre

  1. Mandel, K. & Agol, E., Analytic Light Curves for Planetary Transit Searches, 2002.

    Emplacement : ApJ 580, L171, eq. 1: occulted flux of a uniform source · consulté le 2026-08-26 · DOI 10.1086/345520

  2. Winn, J. N., Transits and Occultations, 2010.

    Emplacement : arXiv:1001.2010, eq. 3-7 (projected separation), eq. 14-15 (T14, T23) · consulté le 2026-08-26

  3. Torres, G., Winn, J. N. & Holman, M. J., Improved Parameters for Extrasolar Transiting Planets, 2008.

    Emplacement : ApJ 677, 1324: HD 209458b, P = 3.52474859 d, Rp/Rs = 0.12086, a/Rs = 8.76, i = 86.71 deg · consulté le 2026-08-26 · DOI 10.1086/529429

  4. Kipping, D. M., Efficient, uninformative sampling of limb darkening coefficients for two-parameter laws, 2013.

    Emplacement : MNRAS 435, 2152, section 2: physical domain of the quadratic law · consulté le 2026-08-26 · DOI 10.1093/mnras/stt1435

Validation scientifiqueProvisoire, relu le 26 août 2026

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Le résultat suit le nombre de chiffres significatifs de l'entrée la moins précise.

révision 1 · relu le 26 août 2026

Journal des révisions

  1. révision 1 · 2026-08-26 · changement de périmètre

    Création de l’outil : transit sur orbite circulaire, disque uniforme en forme close (Mandel & Agol 2002, éq. 1), assombrissement quadratique par quadrature radiale validée à 5,1 × 10⁻⁸ contre cette forme close, durées T14 et T23 (Winn 2010, éq. 14-15), transit rasant.

    Premier résultat publié de l’outil, sans valeur antérieure à comparer.