Vitesse radiale d’une étoile : courbe, amplitude K et masse minimale

Le mode « prévoir » part d’une planète et calcule la courbe de vitesse radiale de son étoile et sa demi-amplitude K. Le mode « peser » part d’une courbe relevée et calcule la fonction de masse puis la masse minimale m sin i. La figure trace v_r sur une période avec la bande de précision de l’instrument et, au-dessus, l’orbite réflexe de l’étoile.

K est l’équation 12 de Lovis & Fischer (2010), reprise en équation 2.28 par Perryman (2018). L’anomalie vraie ν vient de l’équation de Kepler, résolue numériquement.

Vitesse radiale

la composante de la vitesse d’un astre le long de la ligne de visée, comptée positivement quand il s’éloigne.

Demi-amplitude K

la moitié de l’écart entre les deux extrêmes de la courbe, obtenue par ajustement des mesures. L’amplitude crête à crête vaut 2K.

m sin i

le produit de la masse de la planète par le sinus de l’inclinaison de son orbite. Une vitesse radiale seule ne donne que ce produit.

Fonction de masse

f(m) = (m_p sin i)³/(M + m_p)², calculée à partir de P, K et e seuls. La convertir en masse planétaire demande la masse stellaire.

Argument du périastre (ω)

l’angle, dans le plan de l’orbite, entre la ligne des noeuds et le périastre de l’étoile. Il fixe la forme de la courbe, pas sa période ni sa demi-amplitude.

Orbite réflexe

la petite orbite de l’étoile autour du barycentre, homothétique de celle de la planète dans le rapport des masses, environ 1 048 pour Jupiter et le Soleil.

Vitesse systémique (γ)

la vitesse d’ensemble du système par rapport à nous, constante ajoutée à toute la courbe.

• Le signal est le signal képlérien idéal d’une seule planète : jitter stellaire, bruit de photon, échantillonnage des observations et superposition de plusieurs planètes ne sont pas modélisés.
• La bande tracée est une précision publiée d’instrument, pas un seuil de détection. Décider qu’une planète est détectée demande un nombre de mesures, une distribution d’erreurs et un test statistique, non calculés.
• La masse de l’étoile est une saisie assumée : une erreur de dix pour cent sur elle donne environ sept pour cent sur la masse minimale m sin i.
• La vitesse systémique est figée à zéro : constante additive, elle ne change ni la forme ni l’amplitude de la courbe, ni les masses déduites.
• En mode « peser », le point fixe prend i = 90 degrés dans le terme de masse totale, selon la convention de la littérature. Le résultat est la masse minimale.

• 5 ≤ incl ≤ 90modèle · refus

  L’inclinaison va de 5 à 90 degrés. À 90 degrés, orbite vue par la tranche, la masse minimale égale la masse vraie ; sous 5 degrés, sin i tombe sous 0,087 et la même courbe demanderait une planète onze fois plus lourde.

  À la place · Pour une orbite vue presque de face, l’astrométrie remplace la vitesse radiale.

• 0 ≤ ecc ≤ 0.95modèle · refus

  L’excentricité va de 0 à 0,95, borne d’affichage : au-delà, la courbe devient une impulsion trop étroite pour les 181 points de la figure.

  À la place · À excentricité nulle, la courbe est une sinusoïde ; ce cas est inclus.

• 0.01 ≤ per ≤ 100000pratique · refus

  La période va de 0,01 à 100 000 jours. Ces bornes sont celles de l’interface ; la vraie borne basse dépend du rayon de l’étoile, qui n’est pas saisi.

  À la place · Pour une orbite plus serrée que le rayon stellaire, c’est la destruction par effet de marée (limite de Roche) qui s’applique.

Un spectrographe ne mesure que la projection du mouvement de l’étoile sur la ligne de visée, fraction sin i du mouvement. La courbe ne contient que le produit m sin i, une borne inférieure de la masse vraie puisque sin i vaut au plus 1. Une planète de 0,47 masse de Jupiter peut aussi être une naine brune de plusieurs dizaines de masses joviennes vue presque de face. Un transit, qui impose une inclinaison proche de 90 degrés, ou l’astrométrie lèvent l’indétermination.

Une raie spectrale animée ne montrerait rien : le décalage Doppler d’une oscillation de quelques dizaines de mètres par seconde vaut environ deux centièmes de pixel sur un détecteur. Les spectrographes le mesurent par corrélation sur des milliers de raies.

La vitesse radiale est la dérivée temporelle de la coordonnée de l’étoile le long de la ligne de visée. Cette coordonnée est périodique, et l’intégrale de sa dérivée sur une période est nulle. Sans le terme constant e cos ω, la moyenne temporelle de la courbe ne serait pas nulle. Le milieu des deux extrêmes de la courbe vaut K e cos ω ; il ne coïncide avec la moyenne qu’à orbite circulaire ou quand le périastre est perpendiculaire à la ligne de visée. À excentricité nulle, ω perd son sens (un cercle n’a pas de périastre) et ne fait que décaler la phase de la courbe.

Les formules publiées contiennent G parce qu’elles expriment les masses en kilogrammes. Écrites en paramètres gravitationnels nominaux (masses solaires et joviennes, fixées par l’Union astronomique internationale en 2015), la demi-amplitude, la fonction de masse et les deux demi-grands axes ne contiennent plus G. Son incertitude relative, deux pour cent mille, n’entre pas dans le calcul.

Le formulaire est prérempli avec les éléments publiés par Michel Mayor et Didier Queloz (Nature, 1995) pour la première planète découverte autour d’une étoile de type solaire : P = 4,2293 jours, K = 59 m/s, orbite circulaire, étoile d’une masse solaire. Le mode « peser » en tire m sin i = 0,470 masse de Jupiter, la valeur de l’article ; le mode « prévoir », avec cette masse et une orbite vue par la tranche, redonne K = 59,05 m/s. L’orbite réflexe de l’étoile a un demi-grand axe de 3 434 km, celle de la planète est 2 229 fois plus grande. La précision d’exemple, 13 m/s, est celle du spectrographe ELODIE de la découverte ; le signal la dépasse d’un facteur quatre et demi. La période de 4,2308 jours parfois attribuée à cet article est la valeur affinée par les suivis postérieurs.

1. Lovis, C. & Fischer, D., Radial Velocity Techniques for Exoplanets, 2010.

   Emplacement : in Exoplanets, S. Seager ed., University of Arizona Press, eq. 12: the radial velocity semi-amplitude K as a function of period, minimum mass, total mass and eccentricity · consulté le 2026-08-26

2. Perryman, M., The Exoplanet Handbook, 2nd edition, 2018.

   Emplacement : Cambridge University Press, eq. 2.28 for the semi-amplitude and the mass function of a single-planet spectroscopic orbit · consulté le 2026-08-26

3. Mayor, M. & Queloz, D., A Jupiter-mass companion to a solar-type star, 1995.

   Emplacement : Nature 378, 355: 51 Pegasi b, period 4.2293 d, semi-amplitude 59 m/s, minimum mass 0.47 Jupiter masses, used as a labelled example only · consulté le 2026-08-26

4. International Astronomical Union, Resolution B3 on recommended nominal conversion constants, 2015.

   Emplacement : Nominal mass parameters GM = 1.3271244 x 10^20, 1.2668653 x 10^17 and 3.986004 x 10^14 m^3/s^2 exactly for the Sun, Jupiter and the Earth, as tabulated by Prsa et al. 2016, AJ 152:41, table 1 · consulté le 2026-08-26

5. Baranne, A. et al., ELODIE: A spectrograph for accurate radial velocity measurements, 1996.

   Emplacement : Astronomy and Astrophysics Supplement Series 119, 373: instrumental precision of about 13 m/s, used as a labelled example only · consulté le 2026-08-26

6. Mayor, M. et al., Setting New Standards with HARPS, 2003.

   Emplacement : The Messenger 114: instrumental precision of about 1 m/s, used as a labelled example only · consulté le 2026-08-26

Provisoire · Les sources et hypothèses sont indiquées ; la revue documentaire est incomplète.

Modèle physique. Le résultat suit le nombre de chiffres significatifs de l'entrée la moins précise.

révision 1 · relu le 26 août 2026

Journal des révisions

1. révision 1 · 2026-08-26 · changement de périmètre

   Création de l’outil : courbe de vitesse radiale et demi-amplitude K d’une étoile à une planète (Lovis & Fischer 2010 éq. 12, Perryman 2018 éq. 2.28), et mode inverse donnant la fonction de masse puis la masse minimale m sin i.

   Pour P = 4,2293 j, K = 59 m/s, e = 0 et une masse solaire, m sin i = 0,470 masse de Jupiter, la valeur de Mayor & Queloz 1995 ; la même masse minimale redonne K = 59,050 m/s. Jupiter sur le Soleil donne 12,474 m/s à e = 0,0489 (12,459 m/s à excentricité nulle), la Terre sur le Soleil 0,089 458 m/s. La moyenne temporelle de v_r est nulle à 1,3 × 10⁻¹³ m/s près sur 56 couples (e, ω), pour K = 59 m/s. L’enveloppe du balayage vaut K(1 + e) et non K(1 + e)/√(1 − e²), borne 3,2 fois trop large à e = 0,95 ; G s’annule dans toutes les formules écrites en paramètres gravitationnels.