Charge et décharge d’un circuit RC
τ = R × C
Le régime transitoire d'un circuit résistance-condensateur, dans ses deux sens. L'outil rend la constante de temps, la tension et le courant à l'instant demandé, la fraction de tension atteinte, la charge et l'énergie stockées, le temps d'établissement à cinq constantes, et, si vous le demandez, le temps nécessaire pour atteindre une tension visée. Le courant porte son signe, parce que c'est lui qui distingue un condensateur qui se remplit d'un condensateur qui se vide, et la tension de charge est calculée de façon à rester juste même sur des temps mille milliards de fois plus courts que la constante de temps.
3,1606 V
- Calcul
- u(t) = E(1 − e^(−t/τ)) = 5 × (1 − e^(−1)) = 3,1606 V
- Constante de temps
- τ = R × C = 1000 × 1E-6 = 0,001 s
La tension atteint 63,2121 % de sa valeur finale, après 1 constante(s) de temps.
Le courant décroît dans les DEUX régimes, y compris en charge : ce n’est pas le condensateur qui commande le courant, c’est la résistance, et la tension à ses bornes diminue à mesure que celle du condensateur augmente. À l’instant initial d’une charge, le condensateur déchargé se comporte comme un fil : toute la source tombe sur la résistance, et le courant est maximal.
Le régime est considéré comme établi au bout de cinq constantes de temps, soit 0,005 s : il reste alors 0,7 % d’écart. La convention n’a rien de fondamental, l’exponentielle n’atteignant jamais sa limite ; elle dit seulement qu’au-delà, l’écart passe sous le bruit de mesure.
L’énergie stockée vaut ½Cu² : elle croît comme le carré de la tension. À la moitié de la tension finale, le condensateur n’a stocké que le quart de son énergie, pas la moitié.
Le modèle suppose une source de tension parfaite, une résistance constante et un condensateur idéal, sans résistance série ni courant de fuite. Sur un condensateur électrolytique réel, la fuite fait dériver la tension finale, et la capacité annoncée porte souvent une tolérance de 20 %.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesτ = R × C
τ = R × C
charge : u(t) = E(1 − e^(−t/τ))
décharge : u(t) = E e^(−t/τ)
i(t) = ±(E/R) e^(−t/τ)
W = ½ C u²
Une seule équation différentielle gouverne les deux régimes, et une seule grandeur en résume la vitesse : la constante de temps τ = RC, homogène à un temps. Elle ne dépend ni de la tension de la source ni de l'instant considéré. Les repères qui en découlent sont ceux qu'on retient : 63 % au bout d'une constante, 95 % au bout de trois, 99,3 % au bout de cinq.
- τ
- · constante de temps, R × C, en secondes. Elle fixe la vitesse du régime.
- E
- · tension de la source en charge, tension initiale du condensateur en décharge.
- u(t)
- · tension aux bornes du condensateur : elle est continue, elle ne saute jamais.
- i(t)
- · courant dans le circuit. Maximal à t = 0 dans les deux régimes, il décroît toujours.
- q
- · charge stockée, q = C u, en coulombs.
- W
- · énergie stockée, ½ C u², en joules. Elle croît comme le carré de la tension.
Domaine de validitéLe modèle suppose une source de tension parfaite, une résistance constante et un condensateur idéal, sans résistance série équivalente ni courant de fuite.
Le modèle suppose une source de tension parfaite, une résistance constante et un condensateur idéal, sans résistance série équivalente ni courant de fuite. Sur un électrolytique réel, la fuite fait dériver la tension finale et la capacité annoncée porte souvent une tolérance de 20 %, bien plus grande que la précision de ce calcul. La tension visée doit rester dans le domaine réellement atteignable : une charge tend vers E sans l'atteindre, une décharge tend vers zéro sans l'atteindre, et l'outil refuse la borne ouverte plutôt que de rendre un temps infini. Sur les temps très courts devant la constante, la tension de charge est calculée par expm1 plutôt que par E(1 − e^(−t/τ)), dont la soustraction rendrait exactement zéro.
Lecture du résultatLe nombre de constantes de temps écoulées se lit avant la tension : il dit où l'on se trouve dans le régime, indépendamment des valeurs de R, de C et de E.
Le nombre de constantes de temps écoulées se lit avant la tension : il dit où l'on se trouve dans le régime, indépendamment des valeurs de R, de C et de E. Le courant surprend souvent en charge, où l'on s'attend à le voir croître avec la tension : c'est l'inverse. Le courant est fixé par la résistance, et la tension à ses bornes vaut E moins celle du condensateur ; elle diminue donc à mesure que le condensateur se remplit. À l'instant initial, un condensateur déchargé se comporte comme un fil.