Équation de droite
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
L'équation réduite y = mx + p à partir de ce qu'on connaît : deux points de la droite, ou la pente et un point. L'outil rend la pente avec son calcul (m = Δy / Δx), l'ordonnée à l'origine, l'abscisse à l'origine (la racine), la pente d'une perpendiculaire, et peut évaluer y en un x choisi. Le cas vertical est traité honnêtement : x = c, pas une fonction, pas de pente infinie. Deux points confondus sont refusés avec la raison : une infinité de droites passent par un point.
y = -0,5x + 3
- Calcul
- m = Δy / Δx = -3 / 6 = -0,5
- Calcul
- p = y₁ − m·x₁ = 3 − (-0,5) × 0 = 3
Représentation graphique
La droite a pour équation y = -0,5x + 3.
La pente se lit « quand x augmente de 1, y varie de m » : m = 2 monte de deux unités par pas, m = −0,5 descend d’une demi-unité. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
Une perpendiculaire a pour pente −1/m : le produit des deux pentes vaut −1. La règle ne s’applique pas aux droites horizontales et verticales, perpendiculaires entre elles sans produit de pentes.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesm = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
p = y₁ − m·x₁
racine : x = −p / m
perpendiculaire : m⊥ = −1 / m
La pente d'abord, par les accroissements ; l'ordonnée à l'origine ensuite, en faisant passer la droite par l'un des points. N'importe lequel des deux : c'est un contrôle gratuit, le résultat doit être le même par l'autre point.
- Pente (coefficient directeur)
- · la variation de y quand x augmente de 1. Positive, la droite monte ; négative, elle descend ; nulle, elle est horizontale.
- Ordonnée à l’origine
- · le y du point où la droite coupe l’axe vertical, en x = 0.
- Abscisse à l’origine (racine)
- · le x où la droite coupe l’axe horizontal, en y = 0. C’est la solution de mx + p = 0.
- Fonction affine
- · x ↦ mx + p. Linéaire si p = 0 : la droite passe alors par l’origine et y est proportionnel à x.
Domaine de validitéL'outil travaille dans le plan cartésien usuel, avec des coordonnées exactes : il fait passer la droite par les points donnés, sans ajustement.
L'outil travaille dans le plan cartésien usuel, avec des coordonnées exactes : il fait passer la droite par les points donnés, sans ajustement. Deux points très proches donnent une pente très sensible aux arrondis de saisie : à l'écart de 10⁻⁷ près, un centième d'erreur sur y déplace la pente de plusieurs ordres de grandeur. Des points mesurés méritent une régression, pas une droite par deux points.
Le cas verticalDeux points de même abscisse définissent une droite parfaitement légitime, mais son équation est x = c : à cette abscisse, tous les y.
Deux points de même abscisse définissent une droite parfaitement légitime, mais son équation est x = c : à cette abscisse, tous les y. Ce n'est pas une fonction (un x, plusieurs y) et la formule de la pente y diviserait par zéro. L'outil rend donc x = c et une pente absente, pas un infini : une pente infinie n'est pas un nombre, et écrire y = ∞·x + p ne veut rien dire.
Lecture du résultatParallèles et perpendiculaires se lisent sur la pente : mêmes pentes, droites parallèles ; produit des pentes égal à −1, perpendiculaires.
Parallèles et perpendiculaires se lisent sur la pente : mêmes pentes, droites parallèles ; produit des pentes égal à −1, perpendiculaires. La racine sert dans tous les problèmes de seuil (quand la quantité atteint-elle zéro ?), et l'évaluation en un x choisi répond à la question d'interpolation la plus courante. Pour ajuster une droite sur des points de mesure bruités, ce n'est plus cet outil : c'est la régression linéaire.