Corrélation et régression linéaire
r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² Σ(y − ȳ)²)
Collez deux colonnes de mesures : l'outil calcule le coefficient de corrélation de Pearson, la droite des moindres carrés, la part de variance expliquée, l'erreur type et l'intervalle de confiance de la pente et de l'ordonnée, la valeur p de l'hypothèse « la pente est nulle », le résidu de chaque point, et, si vous le demandez, une prédiction assortie de son intervalle de confiance et de son intervalle de prédiction. L'extrapolation hors du domaine observé est signalée, et la différence entre corrélation et causalité est rappelée là où elle se joue.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesr = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² Σ(y − ȳ)²)
r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² Σ(y − ȳ)²)
pente = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / Σ(x − x̄)²
ordonnée = ȳ − pente × x̄
s_e = √(Σ(y − ŷ)² / (n − 2))
IC(pente) = pente ± t × s_e / √(Σ(x − x̄)²)
La droite des moindres carrés est celle qui rend la somme des carrés des écarts verticaux la plus petite possible. Deux propriétés en découlent et servent ici de contrôle : les résidus somment exactement à zéro, et la droite passe par le point moyen (x̄, ȳ). Le coefficient r est la même quantité que la pente, débarrassée des unités : il vaut la pente multipliée par l'écart-type de x et divisée par celui de y.
- r
- · coefficient de corrélation de Pearson, entre −1 et 1. Sans unité.
- r²
- · part de la variance de y expliquée par la droite. 0,64 signifie 64 % expliqués, 36 % restants.
- Résidu
- · écart entre le y observé et le y prédit par la droite.
- s_e
- · écart-type des résidus : l’erreur typique de la droite, dans l’unité de y.
- Intervalle de confiance
- · encadre la position de la DROITE, c’est-à-dire la moyenne de y en un x donné.
- Intervalle de prédiction
- · encadre une observation nouvelle. Toujours plus large : il ajoute la dispersion individuelle.
Domaine de validitéUne corrélation n'est pas une causalité : un r élevé peut venir d'un lien dans un sens, dans l'autre, d'un troisième facteur agissant sur les deux, ou du hasard.
Une corrélation n'est pas une causalité : un r élevé peut venir d'un lien dans un sens, dans l'autre, d'un troisième facteur agissant sur les deux, ou du hasard. L'inférence (valeur p, intervalles) suppose des résidus indépendants, de variance constante et proches d'une loi normale ; elle demande au moins trois points, deux points déterminant la droite exactement sans laisser de résidu à mesurer. Les sommes de carrés sont calculées par les écarts à la moyenne et non par Σx² − n x̄², qui perd sa précision dès que les données sont éloignées de zéro, des années par exemple. Une prédiction hors de l'étendue des x observés est signalée comme extrapolation : la droite n'y a jamais été vérifiée, et l'intervalle affiché suppose que la relation se prolonge.
Lecture du résultatLe signe de r donne le sens de la relation, sa valeur absolue la force, et r² la part de variance expliquée, qui est la lecture la plus honnête des deux.
Le signe de r donne le sens de la relation, sa valeur absolue la force, et r² la part de variance expliquée, qui est la lecture la plus honnête des deux. La valeur p répond à une autre question : ces données suffisent-elles à écarter l'hypothèse d'une pente nulle ? Une pente significative sur un grand échantillon peut rester minuscule, et une pente forte sur cinq points peut ne rien prouver. La colonne des résidus est celle qu'on regarde en dernier et qui dit le plus : s'ils suivent une courbe, la relation n'est pas linéaire ; si l'un écrase les autres, un seul point tient la droite.