Corrélation et régression linéaire
Droite des moindres carrés, r et r², valeur p de la pente, intervalles de confiance et de prédiction, résidus point par point.
Le nuage et sa droite
En attente des grandeurs nécessaires au calcul.
Résultat
calcul à la commandeEn attente des grandeurs nécessaires au calcul.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationDeux colonnes de mesures donnent la droite des moindres carrés, le coefficient de corrélation de Pearson r et r², l'erreur type et l'intervalle de confiance de la pente et de l'ordonnée, la valeur p du test de pente nulle, les résidus et, sur demande, une prédiction avec ses intervalles de confiance et de prédiction.
Deux colonnes de mesures donnent la droite des moindres carrés, le coefficient de corrélation de Pearson r et r², l'erreur type et l'intervalle de confiance de la pente et de l'ordonnée, la valeur p du test de pente nulle, les résidus et, sur demande, une prédiction avec ses intervalles de confiance et de prédiction.
Méthode & formulesr = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / √(Σ(x − x̄)² Σ(y − ȳ)²)
La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux. Les résidus somment à zéro et la droite passe par le point moyen (x̄, ȳ). Le coefficient r, sans unité, vaut la pente multipliée par l'écart-type de x et divisée par celui de y.
- r
- coefficient de corrélation de Pearson, entre −1 et 1. Sans unité.
- r²
- part de la variance de y expliquée par la droite.
- Résidu
- écart entre le y observé et le y prédit par la droite.
- se
- écart-type des résidus, dans l’unité de y.
- Intervalle de confiance
- encadre la moyenne de y en un x donné (la position de la droite).
- Intervalle de prédiction
- encadre une observation nouvelle ; plus large que l’intervalle de confiance, il ajoute la dispersion individuelle.
Domaine de validitéUne corrélation n'établit pas de causalité : un r élevé peut venir d'un lien dans un sens ou dans l'autre, d'un troisième facteur agissant sur les deux, ou du hasard.
Une corrélation n'établit pas de causalité : un r élevé peut venir d'un lien dans un sens ou dans l'autre, d'un troisième facteur agissant sur les deux, ou du hasard. L'inférence (valeur p, intervalles) suppose des résidus indépendants, de variance constante et proches d'une loi normale ; elle demande au moins trois points. Hors de l'étendue des x observés, une prédiction est une extrapolation : la droite n'y a pas été vérifiée.
Lecture du résultatLe signe de r donne le sens de la relation, sa valeur absolue sa force.
Le signe de r donne le sens de la relation, sa valeur absolue sa force. Sur un grand échantillon, une pente minuscule peut être significative ; sur cinq points, une pente forte peut ne rien prouver. Des résidus qui suivent une courbe signalent une relation non linéaire ; un résidu qui écrase les autres signale un point qui tient seul la droite. Anscombe a construit quatre jeux de données aux statistiques identiques et aux formes différentes, dont une parabole et un jeu où un unique point aberrant fixe la droite. Sur la figure, le trait épais encadre la moyenne de y, le trait fin une observation nouvelle.