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Test du khi-deux, ajustement et indépendance

Statistique χ², degrés de liberté, valeur p et valeur critique, avec le détail case par case et la règle de Cochran vérifiée.

Paramètres

Un effectif par catégorie, séparés par des espaces (pas de pourcentages).

Effectifs, fréquences ou proportions, ramenés au total observé. Vide : répartition uniforme.

0 pour une répartition théorique, 1 pour une moyenne estimée (Poisson), 2 pour une moyenne et un écart-type (normale). Chaque paramètre retire un degré de liberté.
0,05 par convention ; 0,01 pour une exigence plus forte.

Résultat

En attente des grandeurs nécessaires au calcul.

Calcul, hypothèses et sources

PrésentationTest du khi-deux (χ²) d’ajustement, qui compare des effectifs observés à une répartition annoncée, et d’indépendance, sur un tableau de contingence.

Test du khi-deux (χ²) d’ajustement, qui compare des effectifs observés à une répartition annoncée, et d’indépendance, sur un tableau de contingence. Le calcul donne la statistique, ses degrés de liberté, la valeur p, la valeur critique au seuil choisi, la contribution et le résidu réduit de chaque case, le V de Cramér et le contrôle de la règle de Cochran.

Méthode & formulesχ² = Σ (O − A)² / A
χ² = Σ (O − A)² / AA(indépendance) = (total ligne × total colonne) / totalddl(ajustement) = k − 1 − mddl(indépendance) = (r − 1)(c − 1)V = √(χ² / (N × min(r − 1, c − 1)))

La division par A rend les écarts comparables d’une case à l’autre. Sous l’hypothèse nulle, la statistique suit approximativement une loi du khi-deux dont les degrés de liberté sont donnés ci-dessus.

O
effectif observé dans une case.
A
effectif attendu sous l’hypothèse nulle : donné en ajustement, déduit des marges en indépendance.
k
nombre de catégories du test d’ajustement.
m
nombre de paramètres estimés sur les données pour construire la répartition attendue.
r, c
nombre de lignes et de colonnes du tableau croisé.
N
effectif total, toutes cases confondues.
Résidu réduit
(O − A) / √A. Son signe donne le sens de l’écart local, marqué au-delà de 2 en valeur absolue.
V de Cramér
force du lien entre deux caractères, de 0 à 1, indépendante de l’effectif total.
Valeur p
probabilité d’observer un écart au moins aussi grand si l’hypothèse nulle était vraie.
Domaine de validitéLa loi du khi-deux approche la loi de la statistique quand les effectifs attendus sont assez grands.

La loi du khi-deux approche la loi de la statistique quand les effectifs attendus sont assez grands. La règle de Cochran demande qu’ils soient tous au moins égaux à 1 et qu’au plus un cinquième soit inférieur à 5. Sinon, la valeur p est optimiste ; sur un 2×2, le test exact de Fisher est préférable. Les observations doivent être indépendantes et saisies en effectifs : des pourcentages reviennent à déclarer un échantillon de 100 individus et faussent la valeur p. La correction de Yates n’est définie que pour un 2×2 ; ailleurs, elle est ignorée et signalée.

Lecture du résultatSi p < α, l’hypothèse nulle est rejetée.

Si p < α, l’hypothèse nulle est rejetée. Une valeur p supérieure au seuil ne prouve pas l’hypothèse nulle : les données, parfois trop peu nombreuses, ne suffisent pas à la contredire. Une association entre deux caractères peut venir d’un troisième facteur et ne désigne pas de cause.