Test du khi-deux, ajustement et indépendance
χ² = Σ (O − A)² / A
Deux tests portent le nom de khi-deux et l'outil les distingue : l'ajustement, qui confronte des effectifs observés à une répartition annoncée, et l'indépendance, qui croise deux caractères dans un tableau et déduit les effectifs attendus de ses marges. Chaque calcul rend la statistique, ses degrés de liberté, la valeur p, la valeur critique au seuil choisi, la contribution de chaque case et son résidu réduit, le V de Cramér pour la force du lien, et la vérification de la règle de Cochran qui décide si l'approximation est seulement licite.
Dossier scientifique
Ce que l'outil calcule, ce qu'il suppose, où il cesse d'être valable et d'où viennent ses données.
Méthode & formulesχ² = Σ (O − A)² / A
χ² = Σ (O − A)² / A
A(indépendance) = (total ligne × total colonne) / total
ddl(ajustement) = k − 1 − m
ddl(indépendance) = (r − 1)(c − 1)
V = √(χ² / (N × min(r − 1, c − 1)))
La statistique additionne, case par case, le carré de l'écart entre effectif observé et effectif attendu, rapporté à l'effectif attendu. Cette division est ce qui rend l'écart comparable d'une case à l'autre : dix de trop sur un attendu de mille ne pèsent pas comme dix de trop sur un attendu de dix. Sous l'hypothèse nulle, la somme suit approximativement une loi du khi-deux dont les degrés de liberté comptent ce que les données n'ont pas déjà servi à fixer.
- O
- · effectif observé dans une case.
- A
- · effectif attendu sous l’hypothèse nulle : donné en ajustement, déduit des marges en indépendance.
- k
- · nombre de catégories du test d’ajustement.
- m
- · nombre de paramètres estimés sur les données pour construire la répartition attendue.
- r, c
- · nombre de lignes et de colonnes du tableau croisé.
- N
- · effectif total, toutes cases confondues.
- Résidu réduit
- · (O − A) / √A : il dit quelle case porte l’écart, et dans quel sens. Au-delà de 2 en valeur absolue, l’écart local est marqué.
- V de Cramér
- · force du lien entre deux caractères, de 0 à 1, indépendante de l’effectif total.
- Valeur p
- · probabilité d’observer un écart au moins aussi grand si l’hypothèse nulle était vraie.
Domaine de validitéLa loi du khi-deux n'est qu'une approximation de la vraie loi de la statistique, valable quand les effectifs attendus sont assez grands : la règle de Cochran demande que tous soient au moins 1, et qu'au plus un cinquième soit inférieur à 5.
La loi du khi-deux n'est qu'une approximation de la vraie loi de la statistique, valable quand les effectifs attendus sont assez grands : la règle de Cochran demande que tous soient au moins 1, et qu'au plus un cinquième soit inférieur à 5. L'outil vérifie cette condition et le dit, sans corriger le résultat en douce : quand elle n'est pas tenue, la valeur p est optimiste et le test rejette trop facilement, un test exact de Fisher étant alors préférable sur un 2×2. Le test suppose par ailleurs des observations indépendantes et des effectifs, jamais des pourcentages : saisir des pourcentages revient à déclarer un échantillon de 100 individus et fausse la valeur p. La correction de Yates n'est définie que pour un tableau 2×2 ; demandée ailleurs, elle est ignorée et l'outil le signale.
Lecture du résultatUne valeur p inférieure au seuil α conduit à rejeter l'hypothèse nulle : les effectifs ne suivent pas la répartition annoncée, ou les deux caractères ne sont pas indépendants.
Une valeur p inférieure au seuil α conduit à rejeter l'hypothèse nulle : les effectifs ne suivent pas la répartition annoncée, ou les deux caractères ne sont pas indépendants. Une valeur p supérieure au seuil ne prouve pas l'hypothèse nulle ; elle constate seulement que ces données ne suffisent pas à la contredire, ce qui peut refléter un effectif trop faible. Le test ne dit jamais quelle case fait la différence : c'est le rôle du détail par case et du résidu réduit. Il ne dit pas non plus quel caractère cause l'autre, une association pouvant venir d'un troisième facteur commun.