Logarithmes et exponentielles
log_b(x) dans toutes les bases, une puissance b^y, ou a^x = c résolue, avec les règles des logarithmes et leurs conditions d’existence.
Résultat
3
- Calcul
- log10(1000) = ln(1000) / ln(10) = 3
- Logarithme népérien (ln)
- 6,90776
- Logarithme binaire
- 9,96578
Remarques (2)
Il faut élever 10 à la puissance 3 pour obtenir 1000.
log(a + b) ne se simplifie pas. Seuls les produits, quotients et puissances se développent : log(ab) = log a + log b, log(a/b) = log a − log b, log(aⁿ) = n·log a.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationLogarithme dans la base choisie, avec ln, log décimal et log binaire ; puissance b^y ; résolution de a^x = c par changement de base.
Logarithme dans la base choisie, avec ln, log décimal et log binaire ; puissance b^y ; résolution de a^x = c par changement de base.
Méthode & formuleslog_b(x) = ln x / ln b
Le changement de base ramène tout logarithme au népérien et résout les équations exponentielles. Le logarithme transforme les produits en sommes et les puissances en produits.
- Logarithme de base b
- l’exposant qui amène b à x : log_b(x) = y signifie b^y = x.
- Logarithme népérien (ln)
- base e ≈ 2,71828 ; la dérivée de ln x est 1/x.
- Logarithme décimal (log₁₀)
- une unité de log₁₀ est un facteur 10. Base du pH, des décibels et des magnitudes.
- Logarithme binaire (log₂)
- base de l’information (bits) : log₂(1024) = 10, soit dix doublements.
Domaine de validitéLe calcul se fait dans les réels : nombre strictement positif, base strictement positive et différente de 1.
Le calcul se fait dans les réels : nombre strictement positif, base strictement positive et différente de 1. Une base négative avec un exposant non entier sort des réels et n’est pas couverte. Les nombres saisis doivent rester entre 10⁻³⁰⁸ et 10³⁰⁸ environ.
Le logarithme d’une sommelog(a + b) ne se simplifie pas et ne vaut pas log a + log b : log₁₀(10 + 10) = log₁₀(20) ≈ 1,3, alors que log₁₀(10) + log₁₀(10) = 2.
log(a + b) ne se simplifie pas et ne vaut pas log a + log b : log₁₀(10 + 10) = log₁₀(20) ≈ 1,3, alors que log₁₀(10) + log₁₀(10) = 2.
Lecture du résultatPour 1000, log₁₀ = 3 (trois ordres de grandeur), log₂ ≈ 9,97 (environ 10 doublements) et ln ≈ 6,9.
Pour 1000, log₁₀ = 3 (trois ordres de grandeur), log₂ ≈ 9,97 (environ 10 doublements) et ln ≈ 6,9. Un logarithme négatif correspond à un nombre entre 0 et 1 : log₁₀(0,001) = −3. À 7 % par période, 1,07^x = 2 donne un temps de doublement x ≈ 10,24 périodes.