Temps de doublement et croissance composée
Temps de doublement d’une croissance (exact et règle des 70), taux depuis un doublement observé, ou valeur après n périodes.
Résultat
10,245 périodes
- Calcul
- T = ln 2 / ln(1 + 7/100) = 10,245 périodes
- Règle des 70
- 10 périodes
La grandeur double en 10,245 périodes ; la règle des 70 estime 10 périodes.
Remarque
Règle des 70 : juste à 4 % près sous 10 % de taux ; à 100 %, elle annonce 0,7 période pour un doublement qui en prend 1.
Calcul, hypothèses et sources
PrésentationNombre de périodes pour qu’une grandeur croissant de r % par période double, en valeur exacte (ln 2 / ln(1 + r)) et par la règle des 70.
Nombre de périodes pour qu’une grandeur croissant de r % par période double, en valeur exacte (ln 2 / ln(1 + r)) et par la règle des 70. Le calcul inverse donne le taux d’un doublement observé, la projection compose le taux sur n périodes, et un taux négatif donne un temps de division par deux.
Méthode & formulesT = ln 2 / ln(1 + r/100)
Le doublement exact est la puissance qui amène (1 + r) à 2. La règle des 70 remplace ln(1 + r) par r, approximation valable aux petits taux.
- Croissance composée
- chaque période s’applique au résultat de la précédente, d’où l’exponentielle.
- Temps de doublement
- nombre de périodes pour multiplier par deux, constant à taux constant.
- Règle des 70
- 70 divisé par le taux en %, approximation juste sous 10 %. Certains prennent 72, qui a plus de diviseurs.
- Temps de division par deux
- équivalent du temps de doublement pour un taux négatif, par exemple l’érosion du pouvoir d’achat par l’inflation.
Domaine de validitéLe modèle suppose un taux constant, rarement tenu longtemps : une épidémie sature, une population manque de ressources, un taux d’intérêt change.
Le modèle suppose un taux constant, rarement tenu longtemps : une épidémie sature, une population manque de ressources, un taux d’intérêt change. La composition se fait par périodes entières et identiques ; en composition continue, remplacer ln(1 + r) par r devient exact et la règle des 70 devient celle des 69,3.
Croissance composéeÀ 1 % par jour, la grandeur est multipliée par 1,01 chaque jour, soit par 37,8 sur l’année ; l’addition des taux donnerait 365 %.
À 1 % par jour, la grandeur est multipliée par 1,01 chaque jour, soit par 37,8 sur l’année ; l’addition des taux donnerait 365 %. La moitié de la croissance totale arrive dans le dernier temps de doublement, et trente doublements multiplient par un milliard.